内積と余弦定理

$\vec{u}=\overrightarrow{OA}$ と $\vec{v}=\overrightarrow{OB}$ を原点 $O$ に置くと、$\overrightarrow{AB}=\vec{v}-\vec{u}=(x_2-x_1,y_2-y_1)$ となる。$\triangle OAB$ における余弦定理より、角 $\theta$ の対辺の長さの二乗は $|\vec{v}-\vec{u}|^2=|\vec{u}|^2+|\vec{v}|^2-2|\vec{u}|\,|\vec{v}|\cos\theta$ である。

一方、座標で長さの二乗を計算すると $|\vec{u}|^2=x_1^2+y_1^2$、$|\vec{v}|^2=x_2^2+y_2^2$、そして $|\vec{v}-\vec{u}|^2=(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2=x_1^2+y_1^2+x_2^2+y_2^2-2(x_1x_2+y_1y_2)$ となる。

$|\vec{v}-\vec{u}|^2$ の二つの表現を等置し、両辺から $x_1^2+y_1^2+x_2^2+y_2^2$ を引くと $-2|\vec{u}|\,|\vec{v}|\cos\theta=-2(x_1x_2+y_1y_2)$ を得る。$-2$ で割れば $\vec{u}\cdot\vec{v}=|\vec{u}|\,|\vec{v}|\cos\theta=x_1x_2+y_1y_2$ が従う。