退化した場合 a=0

$a=0$ を $ax+b=0$ に直接代入すると、項 $ax$ はすべての実数 $x$ に対して $0\cdot x=0$ となる。どんな数に0を掛けても0だからである。したがって方程式は文字通り $b=0$ となり、これはもはや $x$ に一切言及しない、$b$ だけについての命題になる。

ここで固定された数 $b$ について、可能性はちょうど2つしかない。$b=0$ ならば、残った命題「$0=0$」はどの $x$ を代入しても真であり、したがってすべての実数 $x$ が元の方程式を満たし、無数の解を持つ。逆に $b\neq0$ ならば、残った命題「$b=0$」は単に偽であり、どんな $x$ の値もその誤った数値命題を真にすることはできないので、どんな $x$ を試しても方程式は解を全く持たない。