波のエネルギー保存

積分記号下で $E(t)$ を微分する: $E'(t) = \int_0^L \left(u_t u_{tt} + c^2 u_x u_{xt}\right)dx$。

波動方程式から $u_{tt}=c^2 u_{xx}$ を代入すると $E'(t) = \int_0^L \left(c^2 u_t u_{xx} + c^2 u_x u_{xt}\right)dx = c^2\int_0^L \left(u_t u_{xx} + u_x u_{xt}\right)dx$ となる。被積分関数は $\tfrac{\partial}{\partial x}(u_t u_x)$ の導関数であることに気づくので、$E'(t) = c^2\Big[u_t u_x\Big]_0^L$ となる。

固定端境界条件 $u(0,t)=u(L,t)=0$ を適用する。境界条件を $t$ で微分すると $u_t(0,t)=u_t(L,t)=0$ も成り立つ。したがって $E'(t) = c^2\big(u_t(L,t)u_x(L,t) - u_t(0,t)u_x(0,t)\big) = 0$ となり、すべての $t\ge 0$ に対して $E(t)=E(0)$ は定数である。