微分方程式と力学系

波動方程式

弾かれた弦、池に投げ込まれた石、そして光線——これらはすべて同じ偏微分方程式に従う。二つの解の族がすべてを捉える:伝わる波と、その場で振動するだけの定在波である。

直観弾かれた弦を時間で止めてみる

ギターの弦を弾き、あらゆる点、あらゆる瞬間での高さを記録すると、位置 $x$ と時刻 $t$ における変位を表す関数 $u(x,t)$ が得られる。静かな池に石を投げ込むと、外側へ広がる波紋も同種の法則に従う——ただし空間の次元が1つではなく2つになるだけである。どの場合も、鍵となる物理的事実は局所的である:ある点の加速度は、まさにその場で波がどれだけ曲がっているかだけに依存する——張った弦は、くぼみが鋭いほど強くそれを引き戻そうとする。この「加速度は曲率に比例する」という一つの考えが波動方程式である。

池の中心に石を落としたときにできる円形の波紋のように、外側へ広がっていくさざ波——高さは距離とともに減衰し、波のパターンは一定の速さで外側へ広がっていく。

大学ニュートンの第二法則から偏微分方程式へ

張力 $T$ 、単位長さあたりの質量密度 $\rho$ を持つ理想化された弦が、小さな鉛直変位 $u(x,t)$ で振動しているとする。短い区間 $[x, x+dx]$ にニュートンの第二法則を適用し、張力の鉛直成分に小角近似を用いると、 $\rho\, u_{tt} = T\, u_{xx}$ が得られる。 $c^2 = T/\rho$ とおく( $T$ は力の単位、 $\rho$ は単位長さあたりの質量なので、これは速さになる)と、標準形になる。

u_{tt} = c^2\, u_{xx}

大学進行波:ダランベールの解

実数直線 $\mathbb{R}$ 全体で、特性座標 $\xi = x - ct$ 、 $\eta = x + ct$ に変換する。連鎖律により $u_{tt} = c^2 u_{xx}$ ははるかに単純な $u_{\xi\eta} = 0$ となり、その一般解は任意の(2回微分可能な)関数 $F, G$ に対して $u = F(\xi) + G(\eta) = F(x-ct) + G(x+ct)$ となる——形を変えずに速さ $c$ で進む右向きの波と左向きの波の和である。これを初期位置 $u(x,0)=\varphi(x)$ と初期速度 $u_t(x,0)=\psi(x)$ に合わせることで、 $F$ と $G$ が正確に定まる。

定理: ダランベールの公式

$\mathbb{R}\times(0,\infty)$ 上で $u_{tt} = c^2 u_{xx}$ が $u(x,0)=\varphi(x)$ 、 $u_t(x,0)=\psi(x)$ を満たすとき、その一意な解は $u(x,t) = \tfrac{1}{2}\big(\varphi(x-ct)+\varphi(x+ct)\big) + \tfrac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}\psi(s)\,ds$ である。

なぜ正しいのか?

$(x,t)$ で起こることは $[x-ct, x+ct]$ 上の初期データにしか依存し得ない:情報は速さ $c$ より速くは伝わらない。この有限の伝播速度こそが、例えば初期の擾乱が瞬時にあらゆる場所で感じられる熱方程式と波動方程式を分ける決定的な特徴である。

証明

上記のように特性座標に変換して $u=F(x-ct)+G(x+ct)$ を得る。 $u(x,0)=\varphi(x)$ と $u_t(x,0)=\psi(x)$ を課すと、 $\varphi$ と $\psi$ の原始関数を用いた $F$ 、 $G$ に関する2つの方程式が得られ、これらを組み合わせると求める公式になる。

例: はじかれたパルスが2つに分かれる

無限に長い弦が静止した状態( $\psi(x)=0$ )から出発し、 $|x|\le1$ で $\varphi(x) = 1-|x|$ 、それ以外で $\varphi(x)=0$ となる三角形のパルスを持つとする。 $t>0$ における $u(x,t)$ を説明せよ。

解答

$\psi=0$ なので積分項は消え、 $u(x,t) = \tfrac12\big(\varphi(x-ct)+\varphi(x+ct)\big)$ となる:元のパルスは高さが半分になった2つの同一のコピーに分かれ、速さ $c$ で互いに離れながら、一方は右へ、もう一方は左へ進む。2つのコピーがまだ重なっている場所では(小さな $t$ のとき)、高さが単純に足し合わされ、元の形の一部が一時的に再現される。 $ct>1$ になれば完全に分離する。

例: 地震波の到達時刻と震源距離

地震計観測所が P 波(縦波、速度 $c_P = 6\text{ km/s}$ )を時刻 $t_P = 0$ に、S 波(横波、速度 $c_S = 3.5\text{ km/s}$ )を $\Delta t = 45$ 秒後に検出した。両方の波が同時に同じ震源で発生し、直線で伝わると仮定して、震源までの距離 $d$ を求めよ。

解答

ステップ1 — 時刻方程式を立てる。 P 波は距離 $d$ を時間 $d/c_P$ で、S 波は時間 $d/c_S$ で進む。測定された遅れは $\Delta t = d/c_S - d/c_P$ である。

**ステップ2 — $d$ を解く。** $d$ を因数としてまとめると: $\Delta t = d\left(\tfrac{1}{c_S} - \tfrac{1}{c_P}\right)$ 、よって $d = \dfrac{\Delta t}{\tfrac{1}{c_S}-\tfrac{1}{c_P}}$ 。

ステップ3 — 値を代入する。 $\tfrac{1}{c_S}-\tfrac{1}{c_P} = \tfrac{1}{3.5}-\tfrac{1}{6} \approx 0.2857 - 0.1667 = 0.1190\text{ s/km}$ なので、 $d = \dfrac{45}{0.1190} \approx 378\text{ km}$ 。これは1台の地震計で地震を位置特定する標準的な地震学の S-P 法 である。

大学有限な弦上の定在波とフーリエ級数

今度は弦の両端を固定する:長さ $L$ の弦に対して $u(0,t)=u(L,t)=0$ 。変数分離 $u(x,t)=X(x)T(t)$ を行うと、 $X$ は $X(0)=X(L)=0$ を満たす $X''+\lambda X=0$ を満たさねばならない——これは固有値問題であり、その解はまさに $n=1,2,3,\dots$ に対する $X_n(x)=\sin(n\pi x/L)$ 、 $\lambda_n=(n\pi/L)^2$ である。それぞれの $X_n$ は $T_n(t)=\cos(n\pi ct/L+\text{phase})$ と組み合わさって基準振動を与える:弦全体がその場で振動し、すべての点が同時にゼロを通過する。これはまさに[フーリエ級数](/chuoi-fourier)で見た形であり——波動方程式こそ、ダニエル・ベルヌーイが1753年にまさにこの問題を分析する中で、その主題のサイン基底が生まれた場所である。

u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\cos\!\left(\frac{n\pi c t}{L}\right), \qquad b_n = \frac{2}{L}\int_0^L \varphi(x)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx

5

個のサイン倍音から構築された三角波(中点で弾かれた弦の形)——これはまさに、弾かれた弦が分解される基準振動

\sin(n\pi x/L)

そのものである。

発展エネルギー保存と高次元

全エネルギー $E(t) = \frac12\int_0^L \left(u_t^2 + c^2 u_x^2\right) dx$ (運動エネルギーと弾性ポテンシャルエネルギーの和)は保存される:積分の下で微分し、部分積分を行い、 $u_{tt}=c^2u_{xx}$ と両端固定の境界条件を用いると $E'(t)=0$ となる。これは物理的な事実(摩擦のない弦のエネルギーは決して尽きない)を確認すると同時に、ダランベールの解と基準振動解が唯一の解であることの簡潔な証明も与える:もし2つの解が同じ初期データを共有するなら、その差はエネルギーがゼロとなり、したがって恒等的にゼロになるはずである。

定理: 波のエネルギー保存

$[0,L]$ 上で固定端境界条件 $u(0,t)=u(L,t)=0$ を満たす波動方程式 $u_{tt}=c^2 u_{xx}$ の解を $u(x,t)$ とする。全エネルギー $E(t) = \tfrac{1}{2}\int_0^L \left(u_t^2 + c^2 u_x^2\right)dx$ は定数である:すべての $t>0$ に対して $E'(t)=0$ 。

なぜ正しいのか?

エネルギーは2つの部分からなる。運動エネルギー $\tfrac12\int u_t^2\,dx$ (質量の運動)と弾性ポテンシャルエネルギー $\tfrac12 c^2\int u_x^2\,dx$ (弦の伸び)である。波動方程式は運動エネルギーを弾性エネルギーに、そしてまた逆へと同じ速度で変換し、合計を一定に保つ——ちょうど振り子が運動エネルギーとポテンシャルエネルギーをロスなく交換するように。

証明

積分記号下で $E(t)$ を微分する: $E'(t) = \int_0^L \left(u_t u_{tt} + c^2 u_x u_{xt}\right)dx$ 。

波動方程式から $u_{tt}=c^2 u_{xx}$ を代入すると $E'(t) = \int_0^L \left(c^2 u_t u_{xx} + c^2 u_x u_{xt}\right)dx = c^2\int_0^L \left(u_t u_{xx} + u_x u_{xt}\right)dx$ となる。被積分関数は $\tfrac{\partial}{\partial x}(u_t u_x)$ の導関数であることに気づくので、 $E'(t) = c^2\Big[u_t u_x\Big]_0^L$ となる。

固定端境界条件 $u(0,t)=u(L,t)=0$ を適用する。境界条件を $t$ で微分すると $u_t(0,t)=u_t(L,t)=0$ も成り立つ。したがって $E'(t) = c^2\big(u_t(L,t)u_x(L,t) - u_t(0,t)u_x(0,t)\big) = 0$ となり、すべての $t\ge 0$ に対して $E(t)=E(0)$ は定数である。

2次元空間では、端を固定した長方形の太鼓の膜は基準振動 $\sin(mx)\sin(ny)$ を持つ。下の図は関連するパターン $\sin(x)\cos(y)$ を示しており、直線に沿ってではなく面全体に波打つ定在波である。高次元ではまた、ホイヘンスの原理として知られる際立った質的な違いが現れる:奇数次元 $3, 5, 7,\dots$ の空間では、局所的な擾乱は鋭い波面を生み出し、その後は静寂となる(これが音が明瞭に聞こえる理由である)。一方、偶数次元 $2, 4, \dots$ (および $1$ 次元)では、擾乱は決して完全には消えない持続的な「余波」を残す。

2次元の膜の上の定在波モード

z=\sin x\cos y

:ある瞬間のスナップショットであり、山と谷の市松模様全体がその場で上下するだけで、横に移動することはない。

歴史的ノート

波動方程式は18世紀数学における大論争の一つの主題であった。ジャン・ル・ロン・ダランベールは1747年に進行波解を導出した。レオンハルト・オイラーは1748年にその数学には同意したが、実際に弾かれた弦は弾いた点に角を持つため、ダランベールが受け入れようとしたものよりも一般的な(微分不可能な場合も含む)初期形状を許容した。ダニエル・ベルヌーイはその後1753年に、あらゆる解はサインの基準振動 $\sin(n\pi x/L)$ の無限和として書けると主張した——ダランベールもオイラーも、角を持つ形が完全に滑らかなサイン曲線の和になり得るとは思えず、この主張を信じがたいと感じた。この論争は何十年も後、ジョゼフ・フーリエの熱に関する研究(1807年、1822年)と19世紀の収束理論が、そのような無限和にとって「等しい」が何を意味すべきかを正確にしたことで、ようやく解決された。

レオンハルト・オイラー

波動方程式 $u_{tt} = c^2 u_{xx}$ の解を一意に定めるには、初期データがいくつ必要か。

ダランベールの公式では、 $(x,t)$ における値はどの区間の初期データにのみ依存するか。

両端を固定された長さ $L$ の弦において、基準振動(定在波)の空間的な形は

ダランベールの公式 $u(x,t)=\tfrac12[\varphi(x-ct)+\varphi(x+ct)]+\tfrac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}\psi(s)\,ds$ がちょうど $u(x,t)=\tfrac12[\varphi(x-ct)+\varphi(x+ct)]$ に簡約されるのは

参考文献

Lawrence C. Evans (2010). Partial Differential Equations · DOI:10.1090/gsm/019
Walter A. Strauss (2008). Partial Differential Equations: An Introduction
Jean le Rond d'Alembert (1747). Recherches sur la courbe que forme une corde tendue mise en vibration