ウィルソンの定理

($\Rightarrow$)$p$ が素数のとき、各 $k\in\{2,\dots,p-2\}$ を $p$ を法とする逆元とペアにする(自分自身になることはない。$x^2\equiv1\pmod p$ となるのは $x\equiv\pm1$ のときだけだから)。これらのペアは掛け合わせると $1$ になるので、$(p-1)!\equiv 1\cdot(p-1)\equiv -1\pmod p$ が残る。($\Leftarrow$)$n$ が合成数で真の約数 $1<d<n$ を持つとき、$d$ は $(n-1)!$ の因子として現れるので $d\mid(n-1)!$ となり、$(n-1)!\not\equiv-1\pmod n$ である。