補題証明済み
ツォルンの補題
内容
を、任意の鎖(全順序部分集合)が の中に上界を持つような空でない半順序集合とする。このとき は少なくとも一つの極大元を持つ。
なぜ正しいのか?
極大元を見つけるには、厳密に大きい元へと次々に登っていき鎖を作ればよい。仮定により、その鎖は常に「押さえ込む」上界を持つため、登る過程が頂点に到達することなく永遠に続くことはあり得ない ― したがって極大元が存在するはずである。
証明の概略
選択公理を仮定し、選択関数を一つ固定して、超限帰納法により鎖を構成する:各段階で、現在の鎖にまだ含まれない厳密な上界があれば、選択関数を使ってそれを一つ加える。仮定により極限段階でも上界の存在が保証される。この過程はすべての順序数を超えて続くことはできない(それは任意の集合より長い鎖を与えてしまう)ので、いずれ極大元で停止する。逆に、拡張による順序を入れた部分選択関数の半順序集合にツォルンの補題を適用すると選択公理が得られる ― ZF の上でこの二つは同値である。
この定理を使うトピック
関連する定理
ステップごとの証明
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参考文献
- Max Zorn (1935). A remark on method in transfinite algebra
- Kenneth Kunen (1980). Set Theory: An Introduction to Independence Proofs