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公理公理系から独立

選択公理

内容

空でない集合からなる任意の族 (Ai)i∈I(A_i)_{i\in I} に対して、選択関数 ff が存在し、f(i)∈Aif(i)\in A_i がすべての i∈Ii\in I について成り立つ。すなわち、II が無限であり、選び方の明示的な規則が与えられていなくても、族の各集合から一つずつ元を同時に選び出すことができる。

なぜ正しいのか?

有限個の空でない集合であれば、各集合から一つずつ元を選ぶことは全く自明である。選択公理は、この一見自明な能力を、任意の(非可算であっても構わない)集合族へと拡張するものであり、選び方を統一的に指定する規則は一切要求しない。

証明の概略

クルト・ゲーデル(1938年)は構成可能な宇宙 LL を構築した。これは AC が成り立つ ZF のモデルであり、ZF+AC\mathrm{ZF}+\mathrm{AC} が ZF に対して相対的に無矛盾であることを示す。ポール・コーエン(1963年)はフォーシング法を発明して ZF+¬AC\mathrm{ZF}+\neg\mathrm{AC} のモデルを構築し、AC が ZF だけからは導出できないことを示した。この二つの結果によって、AC が ZF から独立であることが確立された。

証明者

1963年に証明クルト・ゲーデル1963年に証明ポール・コーエン

この定理を使うトピック

ZFC公理系

関連する定理

ツォルンの補題

ステップごとの証明

この定理のステップごとの証明はまだありません。

参考文献

  1. Kurt Gödel (1940). The Consistency of the Continuum Hypothesis · DOI:10.1515/9781400881635
  2. Paul J. Cohen (1963). The Independence of the Continuum Hypothesis