Bài toán mở, Số học và Lý thuyết số, Phương trình vi phân và Hệ động lực, nêu năm 1937

Giả thuyết Collatz

Còn mở

Đặt $f(n) = n/2$ nếu $n$ chẵn và $f(n) = 3n+1$ nếu $n$ lẻ. Giả thuyết phát biểu: với mọi số nguyên dương $n$ , lặp lại $f$ luôn dẫn tới $1$ .

Người nêu, 1937Lothar Collatz

Hiện trạng nghiên cứu tính đến năm 2026

Tính đến năm 2026, giả thuyết vẫn còn mở. Kết quả của Tao năm 2019 cho thấy, theo một nghĩa mật độ chính xác, gần như mọi quỹ đạo đều trở nên nhỏ, nhưng không loại trừ khả năng có một tập giá trị khởi đầu mật độ logarit bằng không phân kỳ ra vô cùng hoặc rơi vào một chu trình chưa biết khác ngoài $4\to2\to1$ . Tìm kiếm vét cạn bằng máy tính đã kiểm tra giả thuyết cho mọi giá trị khởi đầu dưới khoảng $2^{71}$ , không tìm thấy phản ví dụ hay chu trình mới nào.

Kết quả tốt nhất đã biết

Tao (2019): gần như mọi quỹ đạo, theo nghĩa mật độ logarit, đạt giá trị dưới bất kỳ hàm nào tiến ra vô cùng, ví dụ $\log\log\log n$ .
Kiểm tra vét cạn bằng máy tính xác nhận giả thuyết đúng với mọi giá trị khởi đầu tới khoảng $2^{71}$ , chưa tìm thấy phản ví dụ.

Công cụ và chỗ dừng

Công cụ	Đạt được	Chỗ dừng
Mô hình xác suất / ergodic cho ánh xạ Syracuse	Cho thấy gần như mọi quỹ đạo trở nên nhỏ theo nghĩa mật độ 1 chính xác (Tao, 2019)	Không loại trừ được tập quỹ đạo ngoại lệ mật độ logarit bằng không phân kỳ hoặc rơi vào chu trình chưa biết
Tìm kiếm vét cạn bằng máy tính	Xác nhận không có phản ví dụ nào dưới khoảng $2^{71}$	Không thể chứng minh cho mọi số nguyên, vì $\mathbb{N}$ là vô hạn

Câu hỏi còn mở

Mọi quỹ đạo có thực sự về 1, không có ngoại lệ nào — chứ không chỉ mật độ 1?
Có chu trình nào khác ngoài $4\to2\to1$ , hay một quỹ đạo phân kỳ, hay không?

Tài liệu tham khảo

Terence Tao (2022). Almost all orbits of the Collatz map attain almost bounded values · arXiv:1909.03562
Jeffrey C. Lagarias (ed.) (2010). The 3x+1 problem: An overview, in The Ultimate Challenge: The 3x+1 Problem
Jeffrey C. Lagarias (1985). The 3x+1 problem and its generalizations