Math Labs

Bài toán mở, Số học và Lý thuyết số, Tổ hợp và Toán rời rạc, nêu năm 1973

Giả thuyết Erdős về cấp số cộng

Còn mởErdős

Cho A⊆Z+A \subseteq \mathbb{Z}^+ là một tập hợp các số nguyên dương có tổng nghịch đảo phân kỳ, ∑n∈A1n=∞\sum_{n \in A} \frac{1}{n} = \infty. Khi đó AA chứa các cấp số cộng với mọi độ dài hữu hạn k≥3k \ge 3.

Người nêu, 1973Paul Erdős
Hiện trạng nghiên cứu tính đến năm 2026

Tính đến năm 2026, giả thuyết đã được chứng minh hoàn toàn cho k=3k = 3 (Bloom–Sisask, 2020), với cận định lượng sau đó được làm sắc lên r3(N)≤exp⁡(−c(log⁡N)1/9)Nr_3(N) \le \exp(-c (\log N)^{1/9}) N nhờ Kelley–Meka (2023) và Bloom–Sisask (2023). Với k≥4k \ge 4, giả thuyết vẫn còn mở: các cận trên tốt nhất cho rk(N)r_k(N) (Green–Tao với k=4k = 4, Leng–Sah–Sawhney 2024 với k≥5k \ge 5 cho rk(N)≤Nexp⁡(−(log⁡log⁡N)ck)r_k(N) \le N \exp(-(\log \log N)^{c_k})) vẫn còn quá yếu để làm chuỗi ∑rk(N)/N2\sum r_k(N)/N^2 hội tụ.

Kết quả tốt nhất đã biết

  • Mọi tập AA có ∑n∈A1n=∞\sum_{n \in A} \frac{1}{n} = \infty đều chứa vô số cấp số cộng 33 số hạng (Bloom và Sisask, 2020).
  • Cận tựa đa thức cho cấp số cộng 33 số hạng: r3(N)≤exp⁡(−c(log⁡N)1/9)Nr_3(N) \le \exp(-c (\log N)^{1/9}) N (Kelley–Meka, 2023; Bloom–Sisask, 2023).
  • Với k≥5k \ge 5, các cận cải tiến cho định lý ngược cho rk(N)≤Nexp⁡(−(log⁡log⁡N)ck)r_k(N) \le N \exp(-(\log \log N)^{c_k}) (Leng, Sah và Sawhney, 2024).

Công cụ và chỗ dừng

Công cụĐạt đượcChỗ dừng
Khuếch đại phổ, tính hầu tuần hoàn và sàng trong giải tích FourierGiải quyết trường hợp k=3k = 3 bằng cách chỉ ra các tập không chứa cấp số cộng độ dài 33 có bước tăng mật độ mạnh trên các tập Bohr, thu được r3(N)≪N/(log⁡N)1+εr_3(N) \ll N / (\log N)^{1+\varepsilon}.Giải tích Fourier tuyến tính chỉ kiểm soát được cấp số cộng 33 số hạng; các cấp số cộng độ dài k≥4k \ge 4 phụ thuộc vào các chuẩn đều Gowers bậc cao Uk−1U^{k-1}.
Giải tích Fourier bậc cao và định lý ngược Gowers Uk−1U^{k-1}Liên hệ các hàm có chuẩn Uk−1U^{k-1} lớn với các dãy lũy linh, đem lại các cận định lượng tường minh rk(N)=o(N)r_k(N) = o(N) cho mọi k≥4k \ge 4.Việc chuyển sang các đa tạp lũy linh chiều cao làm phát sinh tổn hao logarit kép, chưa đạt tới cận N/(log⁡N)1+εN / (\log N)^{1+\varepsilon} cần thiết cho ∑Nrk(N)N2<∞\sum_{N} \frac{r_k(N)}{N^2} < \infty.

Câu hỏi còn mở

  • Liệu mọi tập con của Z+\mathbb{Z}^+ có ∑n∈A1n=∞\sum_{n \in A} \frac{1}{n} = \infty có đều chứa một cấp số cộng 44 số hạng (k=4k = 4) hay không?
  • Liệu cận rk(N)≪N/(log⁡N)1+εr_k(N) \ll N / (\log N)^{1 + \varepsilon} có đúng với mọi k≥4k \ge 4 hay không?

Tài liệu tham khảo

  1. Thomas F. Bloom, Olof Sisask (2020). Breaking the logarithmic barrier in Roth's theorem on arithmetic progressions · arXiv:2007.03528
  2. Zander Kelley, Raghu Meka (2023). Strong bounds for 3-progressions · arXiv:2302.05537
  3. Ben Green, Terence Tao (2008). The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions · DOI:10.4007/annals.2008.167.481