未解决问题，算术与数论, 组合数学与离散数学，1973年提出

关于等差数列的埃尔德什猜想

未解决埃尔德什

设 $A \subseteq \mathbb{Z}^+$ 是倒数和发散（即满足 $\sum_{n \in A} \frac{1}{n} = \infty$ ）的正整数集合，则 $A$ 包含任意有限长度 $k \ge 3$ 的等差数列。

提出者, 1973保罗·爱尔特希

研究前沿截至2026年

截至2026年，该猜想在 $k = 3$ 情形下已获完全证明（布卢姆–西萨斯克，2020），其定量上界随后在凯利–梅卡（2023）与布卢姆–西萨斯克（2023）的工作中推进至 $r_3(N) \le \exp(-c (\log N)^{1/9}) N$ 。对于 $k \ge 4$ ，猜想仍然公开：目前关于 $r_k(N)$ 的最优上界（ $k = 4$ 出自格林–陶， $k \ge 5$ 出自冷–萨–索hney 2024年的 $r_k(N) \le N \exp(-(\log \log N)^{c_k})$ ）仍不足以保证 $\sum r_k(N)/N^2$ 收敛。

已知最佳结果

满足 $\sum_{n \in A} \frac{1}{n} = \infty$ 的任意集合 $A$ 包含无穷多个 $3$ 项等差数列（布卢姆与西萨斯克，2020）。
$3$ 项等差数列的准多项式上界： $r_3(N) \le \exp(-c (\log N)^{1/9}) N$ （凯利–梅卡，2023；布卢姆–西萨斯克，2023）。
对于 $k \ge 5$ ，改进的逆定理界给出 $r_k(N) \le N \exp(-(\log \log N)^{c_k})$ （冷、萨、索hney，2024）。

使用的方法及其局限

方法	取得的结果	局限所在
傅里叶分析中的谱提升与殆周期性方法	证明不含 $3$ 项等差数列的集合在玻尔集上具有显著的密度增量，从而导出 $r_3(N) \ll N / (\log N)^{1+\varepsilon}$ 并解决了 $k = 3$ 情形。	线性傅里叶分析仅能控制 $3$ 项等差数列；长度 $k \ge 4$ 的等差数列依赖于高阶高尔斯均匀性范数 $U^{k-1}$ 。
高阶傅里叶分析与高尔斯 $U^{k-1}$ 逆定理	将具有较大 $U^{k-1}$ 范数的函数与幂零序列相关联，给出了所有 $k \ge 4$ 的显式定量上界 $r_k(N) = o(N)$ 。	向高维幂零流形的转化会带来双重对数损失，尚无法达到保证 $\sum_{N} \frac{r_k(N)}{N^2} < \infty$ 所需的 $N / (\log N)^{1+\varepsilon}$ 上界。

尚未解决的问题

满足 $\sum_{n \in A} \frac{1}{n} = \infty$ 的每个 $\mathbb{Z}^+$ 子集是否都包含一个 $4$ 项等差数列（ $k = 4$ ）？
上界 $r_k(N) \ll N / (\log N)^{1 + \varepsilon}$ 是否对所有 $k \ge 4$ 均成立？

参考文献

Thomas F. Bloom, Olof Sisask (2020). Breaking the logarithmic barrier in Roth's theorem on arithmetic progressions · arXiv:2007.03528
Zander Kelley, Raghu Meka (2023). Strong bounds for 3-progressions · arXiv:2302.05537
Ben Green, Terence Tao (2008). The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions · DOI:10.4007/annals.2008.167.481