Math Labs

Bài toán mở, Số học và Lý thuyết số, nêu năm 1948

Giả thuyết Erdős–Straus

Còn mởErdős

Với mọi số nguyên n≥2n \ge 2, số hữu tỉ 4/n4/n có thể biểu diễn thành tổng của ba phân số đơn vị dương: 4n=1x+1y+1z\frac{4}{n} = \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} với các số nguyên dương x,y,zx, y, z nào đó.

Người nêu, 1948Paul Erdős
Hiện trạng nghiên cứu tính đến năm 2026

Tính đến năm 2026, giả thuyết Erdős–Straus vẫn còn mở. Các phương pháp sàng (Vaughan 1970) cho thấy số ngoại lệ n≤Nn \le N nhiều nhất là O(Nexp⁡(−c(log⁡N)2/3))O(N \exp(-c (\log N)^{2/3})), nên giả thuyết đúng cho hầu hết các số nguyên theo nghĩa mật độ tự nhiên. Kỹ thuật lọc môđun (Salez 2014 và các mở rộng tính toán tiếp theo) đã kiểm chứng giả thuyết tới ít nhất 101710^{17}. Tuy nhiên, vì các lớp thặng dư p≡r2(modq)p \equiv r^2 \pmod{q} không thể được phủ bởi hữu hạn hằng đẳng thức đa thức (cản trở thặng dư bậc hai của Mordell), một chứng minh trọn vẹn đòi hỏi các công cụ giải tích hoặc số học mới.

Kết quả tốt nhất đã biết

  • Vaughan (1970): số các số nguyên n≤Nn \le N mà phương trình 4/n=1/x+1/y+1/z4/n = 1/x + 1/y + 1/z vô nghiệm nhiều nhất là O(Nexp⁡(−c(log⁡N)2/3))O(N \exp(-c (\log N)^{2/3})).
  • Elsholtz và Tao (2013): số nghiệm trung bình lấy trên các số nguyên tố p≤Np \le N bị chặn giữa c1log⁡2Nc_1 \log^2 N và c2log⁡2Nlog⁡log⁡Nc_2 \log^2 N \log \log N.
  • Salez (2014): kiểm tra bằng máy tính xác nhận không có phản ví dụ nào với n≤1017n \le 10^{17}.

Công cụ và chỗ dừng

Công cụĐạt đượcChỗ dừng
Hệ đồng dư phủ môđun và sàng lớnLoại trừ mọi lớp thặng dư ngoại trừ các số chính phương khác không theo môđun MM bất kỳ, chứng minh tập ngoại lệ có mật độ 00 và cho phép kiểm tra tới 101710^{17}Cản trở Mordell: 11 luôn là thặng dư bậc hai theo mọi môđun nguyên MM, nên không hệ đồng dư hữu hạn nào phủ được mọi số nguyên tố
Phân tích tổng ước tham số trên đa tạp afin (Elsholtz–Tao)Thiết lập cận trên và cận dưới chặt cho tổng số biểu diễn trung bình ∑p≤Nf(p)\sum_{p \le N} f(p)Chỉ kiểm soát trung bình trên các số nguyên tố p≤Np \le N chứ chưa bảo đảm f(p)≥1f(p) \ge 1 cho từng số nguyên tố pp riêng lẻ

Câu hỏi còn mở

  • Mọi số nguyên tố p≡1(mod24)p \equiv 1 \pmod{24} có đều biểu diễn được dưới dạng 4/p=1/x+1/y+1/z4/p = 1/x + 1/y + 1/z với các số nguyên dương hay không?
  • Tổng quát hóa của Schinzel có đúng không — rằng với mọi m≥4m \ge 4 cố định, m/n=1/x+1/y+1/zm/n = 1/x + 1/y + 1/z có nghiệm với mọi nn đủ lớn?

Tài liệu tham khảo

  1. Christian Elsholtz, Terence Tao (2013). Counting the number of solutions to the Erdős–Straus equation on unit fractions · DOI:10.1017/S1446788713000244 · arXiv:1107.1010
  2. L. J. Mordell (1969). Diophantine Equations
  3. R. C. Vaughan (1970). On a problem of Erdős and Straus · DOI:10.1112/S0025579300002886
  4. Serge E. Salez (2014). The Erdős–Straus conjecture: New modular equations and checking up to N = 10^17 · arXiv:1406.6307 [preprint, chưa bình duyệt]