Bài toán mở, Số học và Lý thuyết số, Tổ hợp và Toán rời rạc, nêu năm 1941

Giả thuyết Erdős–Turán về cơ sở cộng tính

Còn mởErdős

Cho $A \subseteq \mathbb{N}$ là một cơ sở cộng tính tiệm cận bậc $2$ , nghĩa là mọi số nguyên đủ lớn $n \ge n_0$ đều viết được dưới dạng $n = a + b$ với $a, b \in A$ . Khi đó hàm biểu diễn $r_A(n) = \#\{(a, b) \in A^2 : a + b = n\}$ không thể bị chặn trên: $\limsup_{n \to \infty} r_A(n) = \infty$ .

Người nêu, 1941Paul Erdős

Hiện trạng nghiên cứu tính đến năm 2026

Tính đến năm 2026, giả thuyết Erdős–Turán về cơ sở cộng tính vẫn còn mở ngay cả với bậc $2$ . Dù giả thiết $r_A(n) \ge 1$ với mọi $n \ge n_0$ kéo theo $\limsup_{n \to \infty} r_A(n) \ge 8$ (với cặp có thứ tự) và buộc hàm biểu diễn không thể dừng ở hằng số, ngay cả việc loại trừ $\limsup_{n \to \infty} r_A(n) \le 10$ vẫn chưa giải được. Các tiến bộ hiện tập trung vào việc chặn mômen bậc hai $N^{-1} \sum_{n \le N} r_A(n)^2$ và nghiên cứu tốc độ tăng của các tập $B_2[g]$ .

Kết quả tốt nhất đã biết

Mọi cơ sở cộng tính tiệm cận bậc $2$ đều thỏa mãn $\limsup_{n \to \infty} r_A(n) \ge 8$ đối với các biểu diễn có thứ tự (Grekos, Haddad, Helou và Pihko, 2003).
Tồn tại các cơ sở tiệm cận bậc $2$ có hàm biểu diễn tăng trưởng logarit $c_1 \log n \le r_A(n) \le c_2 \log n$ với mọi $n$ đủ lớn (Erdős, 1956).

Công cụ và chỗ dừng

Công cụ	Đạt được	Chỗ dừng
Hàm sinh và các cận Parseval trên đường tròn	Liên hệ chuỗi sinh $f(z) = \sum_{a \in A} z^a$ trên đường tròn đơn vị với trung bình của $r_A(n)$ , qua đó loại trừ các hàm biểu diễn dừng ở hằng số.	Các trung bình Fourier $L^2$ vẫn cho phép sự triệt tiêu dao động và tự thân chúng chưa thể ép các hệ số của $f(z)^2$ phải bùng nổ theo chuẩn $L^\infty$ .
Phương pháp xác suất cho cơ sở thưa ngẫu nhiên	Xây dựng các cơ sở có $r_A(n) = \Theta(\log n)$ bằng cách chọn độc lập mỗi số nguyên $x$ với xác suất $c \sqrt{\log x / x}$ .	Cách chọn ngẫu nhiên độc lập bắt buộc phải có nhân tử $\sqrt{\log x}$ theo bổ đề Borel–Cantelli để tránh các khoảng trống không được phủ, khiến cấu trúc ngẫu nhiên không thể đạt $r_A(n) = O(1)$ .

Câu hỏi còn mở

Liệu mọi cơ sở cộng tính tiệm cận bậc $2$ có đều thỏa mãn $\limsup_{n \to \infty} r_A(n) = \infty$ hay không?
Liệu một cơ sở cộng tính tiệm cận bậc $2$ có thể thỏa mãn $r_A(n) = o(\log n)$ khi $n \to \infty$ hay không?

Tài liệu tham khảo

Paul Erdős, Pál Turán (1941). On a problem of Sidon in additive number theory, and on some related problems · DOI:10.1112/jlms/s1-16.4.212
Georges Grekos, Labib Haddad, Charles Helou, Jukka Pihko (2003). On the Erdős–Turán conjecture · DOI:10.1016/S0022-314X(03)00099-4