未解决问题，几何学, 组合数学与离散数学，1946年提出

埃尔德什单位距离问题

未解决埃尔德什

确定平面 $\mathbb{R}^2$ 中任意 $n$ 个点的集合里欧几里得距离恰好为 $1$ 的点对的最大数目 $u(n)$ 的渐近增长阶。

提出者, 1946保罗·爱尔特希

研究前沿截至2026年

截至2026年，欧几里得平面中 $u(n)$ 的精确渐近指数仍未解决，但2026年5月的研究突破彻底改变了局面。八十年来，最好的下界一直是埃尔德什1946年利用整数格得到的 $n^{1+c/\log\log n}$ ，埃尔德什本人曾猜想 $u(n) = n^{1+o(1)}$ 。2026年5月，一项由AI发现的代数数域构造（经阿隆等人的预印本核实并由萨温改进）推翻了埃尔德什猜想，证明了 $u(n) = \Omega(n^{1.014})$ ，将真实增长率锁定在严格高于 $n^1$ 的幂函数与1984年斯宾塞-塞梅雷迪-特罗特上界 $O(n^{4/3})$ 之间。

已知最佳结果

最好的通用上界是斯宾塞、塞梅雷迪和特罗特（1984年）证明的 $u(n) = O(n^{4/3})$ 。
2026年建立了对任意大 $n$ 成立的显式下界 $u(n) > n^{1.014}$ （萨温，预印本，基于阿隆等人核实的OpenAI反例进一步发展），推翻了埃尔德什的 $n^{1+o(1)}$ 猜想。

使用的方法及其局限

方法	取得的结果	局限所在
关联几何与交叉数不等式（塞梅雷迪-特罗特、塞凯伊）	通过估计 $n$ 个点与 $n$ 个单位圆之间的关联数，证明了上界 $u(n) = O(n^{4/3})$	拓扑方法和二部图交叉数界无法区分欧几里得单位圆与确实能达到 $\Theta(n^{4/3})$ 次关联的伪圆
代数数域与戈洛德-沙法列维奇类域塔（阿隆等人、萨温）	利用判别式较小且含有大量范数为 $1$ 的分裂素理想的高次代数数域，在 $\mathbb{C} \cong \mathbb{R}^2$ 中构造点集，达到了 $u(n) > n^{1.014}$	萨温证明在该框架下已知的无条件数域构造无法将指数推高至约 $1.2143$ 以上，距离 $4/3$ 仍有差距

尚未解决的问题

欧几里得平面中真实的渐近指数 $\limsup_{n \to \infty} \frac{\log u(n)}{\log n}$ 究竟是多少？
能否利用单位圆的代数刚性，将上界 $O(n^{4/3})$ 改进为某个 $c > 0$ 时的 $O(n^{4/3 - c})$ ？

参考文献

Paul Erdős (1946). On sets of distances of n points · DOI:10.1080/00029890.1946.11991674
Joel Spencer, Endre Szemerédi, William T. Trotter (1984). Unit distances in the Euclidean plane · DOI:10.1007/pl00000428
Noga Alon, Thomas F. Bloom, W. T. Gowers, Daniel Litt, Will Sawin, Arul Shankar, Jacob Tsimerman, Victor Wang, Melanie Matchett Wood (2026). Remarks on the disproof of the unit distance conjecture · arXiv:2605.20695v1 [预印本,未经同行评审]
Will Sawin (2026). An explicit lower bound for the unit distance problem · arXiv:2605.20579v1 [预印本,未经同行评审]