Bài toán mở, Số học và Lý thuyết số, Giải tích, nêu năm 1834

Bài toán hình tròn Gauss

Còn mở

Gọi $N(r) = \#\{(m,n) \in \mathbb{Z}^2 : m^2 + n^2 \le r^2\}$ là số điểm nguyên nằm trong hình tròn bán kính $r$ tâm tại gốc toạ độ, và viết $N(r) = \pi r^2 + E(r)$ . Hãy xác định cận dưới đúng $\theta$ của mọi số mũ sao cho $E(r) = O(r^{\theta+\varepsilon})$ khi $r \to \infty$ với mọi $\varepsilon > 0$ ; giả thuyết đặt ra là $\theta = \tfrac{1}{2}$ .

Người nêu, 1834Carl Friedrich Gauss

Hiện trạng nghiên cứu tính đến năm 2026

Tính đến năm 2026, bài toán hình tròn Gauss vẫn còn để ngỏ, với số mũ thực sự $\theta$ được biết nằm trong đoạn $[\tfrac{1}{2}, \tfrac{131}{208}]$ . Về phía chặn trên, chặn đã qua bình duyệt năm 2003 của Martin Huxley $\theta \le \tfrac{131}{208} \approx 0.62981$ (sau khi bản thảo preprint năm 2017 dựa trên bất đẳng thức tách của Bourgain và Watt công bố $\tfrac{517}{824} \approx 0.62743$ bị rút lại năm 2023, cùng các preprint tách tiếp nối hướng này như Li–Yang 2023) thể hiện chuẩn mực của kỹ thuật tổng mũ. Về phía chặn dưới và xác suất, Heath-Brown (1999) chứng minh rằng $r^{-1/2}E(r)$ có phân bố giới hạn không Gauss, và Soundararajan (2003) cải thiện chặn dao động cực trị lên $E(r) = \Omega\!\left(r^{1/2}(\log r)^{1/4}(\log\log r)^{\frac{3}{4}(2^{4/3}-1)}(\log\log\log r)^{-5/8}\right)$ .

Kết quả tốt nhất đã biết

Chặn trên đã công bố: $E(r) = O\!\left(r^{131/208}(\log r)^{18627/8320}\right)$ , do đó $\theta \le \tfrac{131}{208} \approx 0.62981$ (Huxley, 2003).
Tiệm cận trung bình bình phương: $\int_1^T |E(r)|^2\,dr = c T^2 + O(T^{3/2+\varepsilon})$ , cho thấy $|E(r)|$ có bậc $O(r^{1/2})$ theo nghĩa trung bình.
Chặn dưới dao động: $E(r) = \Omega\!\left(r^{1/2}(\log r)^{1/4}(\log\log r)^{\frac{3}{4}(2^{4/3}-1)}(\log\log\log r)^{-5/8}\right)$ (Soundararajan, 2003).

Công cụ và chỗ dừng

Công cụ	Đạt được	Chỗ dừng
Đồng nhất thức chuỗi Bessel Hardy–Voronoi và công thức tổng Poisson	Khai triển $E(r)$ thành chuỗi hàm Bessel $r \sum_{n=1}^{\infty} r_2(n) n^{-1/2} J_1(2\pi r\sqrt{n})$ , chuyển bài toán đếm điểm nguyên sang ước lượng tổng mũ dao động.	Việc cắt cụt chuỗi Voronoi ở độ dài $N$ để lại sai số làm trơn cỡ $O(r N^{-1/2})$ ; để đạt tới $\theta = \tfrac{1}{2}$ cần chứng minh sự triệt tiêu cỡ căn bậc hai cho tới tận $N \approx r$ .
Phương pháp Hardy–Littlewood rời rạc (Bombieri–Iwaniec–Mozzochi, Huxley)	Áp dụng xấp xỉ hữu tỷ cho hàm pha và các chặn cộng hưởng sàng lớn để đẩy số mũ xuống $\theta \le \tfrac{131}{208}$ .	Dựa vào xấp xỉ đa thức cục bộ của pha trên các khoảng ngắn, nên không thể khai thác tính độc lập số học toàn cục của các tần số $\sqrt{n}$ .

Câu hỏi còn mở

Đẳng thức $E(r) = O(r^{1/2+\varepsilon})$ có đúng với mọi $\varepsilon > 0$ hay không?
Số mũ chính xác của $\log r$ trong bậc cực đại của $|E(r)| / r^{1/2}$ khi $r \to \infty$ là bao nhiêu?

Tài liệu tham khảo

G. H. Hardy (1915). On the expression of a number as the sum of two squares
Henryk Iwaniec, C. J. Mozzochi (1988). On the divisor and circle problems · DOI:10.1016/0022-314X(88)90049-7
Martin N. Huxley (2003). Exponential sums and lattice points III · DOI:10.1112/S0024611503014485