未解决问题，算术与数论, 分析学，1834年提出

高斯圆问题

未解决

设 $N(r) = \#\{(m,n) \in \mathbb{Z}^2 : m^2 + n^2 \le r^2\}$ 为以原点为中心、半径为 $r$ 的圆内的整格点个数,并记 $N(r) = \pi r^2 + E(r)$ 。求使得对任意 $\varepsilon > 0$ ,当 $r \to \infty$ 时均有 $E(r) = O(r^{\theta+\varepsilon})$ 成立的指数下确界 $\theta$ ;人们猜想 $\theta = \tfrac{1}{2}$ 。

提出者, 1834卡尔·弗里德里希·高斯

研究前沿截至2026年

截至2026年,高斯圆问题仍未解决,已知真实指数 $\theta$ 落在区间 $[\tfrac{1}{2}, \tfrac{131}{208}]$ 内。在上界方面,马丁·赫胥黎2003年经同行评审的上界 $\theta \le \tfrac{131}{208} \approx 0.62981$ (布尔甘与瓦特2017年基于解耦理论声称达到 $\tfrac{517}{824} \approx 0.62743$ 的预印本已于2023年撤稿,李晓春与杨雪瑞2023年等后续解耦预印本仍在推进这一方向)代表了指数和技术的基准。在下界与概率分布方面,希思-布朗(1999年)证明了 $r^{-1/2}E(r)$ 具有非高斯极限分布,桑达拉拉詹(2003年)则将极端振荡下界改进为 $E(r) = \Omega\!\left(r^{1/2}(\log r)^{1/4}(\log\log r)^{\frac{3}{4}(2^{4/3}-1)}(\log\log\log r)^{-5/8}\right)$ 。

已知最佳结果

已发表上界: $E(r) = O\!\left(r^{131/208}(\log r)^{18627/8320}\right)$ ,即 $\theta \le \tfrac{131}{208} \approx 0.62981$ (赫胥黎,2003年)。
均方渐近式: $\int_1^T |E(r)|^2\,dr = c T^2 + O(T^{3/2+\varepsilon})$ ,表明 $|E(r)|$ 在平均意义下为 $O(r^{1/2})$ 。
振荡下界: $E(r) = \Omega\!\left(r^{1/2}(\log r)^{1/4}(\log\log r)^{\frac{3}{4}(2^{4/3}-1)}(\log\log\log r)^{-5/8}\right)$ (桑达拉拉詹,2003年)。

使用的方法及其局限

方法	取得的结果	局限所在
哈代–沃罗诺伊贝塞尔级数恒等式与泊松求和	将 $E(r)$ 展开为贝塞尔函数级数 $r \sum_{n=1}^{\infty} r_2(n) n^{-1/2} J_1(2\pi r\sqrt{n})$ ,把格点计数转化为振荡指数和估计。	将沃罗诺伊级数在长度 $N$ 处截断会留下 $O(r N^{-1/2})$ 的光滑化误差;要达到 $\theta = \tfrac{1}{2}$ ,需要一直到 $N \approx r$ 都证明平方根抵消。
离散哈代–李特尔伍德方法(邦别里–伊万涅茨–莫佐奇、赫胥黎)	对相位函数施以有理逼近并结合大筛法共振估计,将指数降至 $\theta \le \tfrac{131}{208}$ 。	依赖于短区间上相位的局部多项式逼近,无法捕捉频率 $\sqrt{n}$ 的全局算术独立性。

尚未解决的问题

对任意 $\varepsilon > 0$ , $E(r) = O(r^{1/2+\varepsilon})$ 是否都成立?
当 $r \to \infty$ 时, $|E(r)| / r^{1/2}$ 的最大阶中 $\log r$ 的精确幂次是多少?

参考文献

G. H. Hardy (1915). On the expression of a number as the sum of two squares
Henryk Iwaniec, C. J. Mozzochi (1988). On the divisor and circle problems · DOI:10.1016/0022-314X(88)90049-7
Martin N. Huxley (2003). Exponential sums and lattice points III · DOI:10.1112/S0024611503014485