Math Labs

Bài toán mở, Hình học, nêu năm 1950

Bài toán tam giác Heilbronn

Còn mở

Với n≥3n \ge 3 điểm đặt trong một miền lồi compact có diện tích 11 trên mặt phẳng (chẳng hạn hình vuông đơn vị [0,1]2[0,1]^2 hoặc hình tròn diện tích đơn vị), gọi Δ(n)\Delta(n) là cận trên đúng trên mọi cấu hình nn điểm của diện tích nhỏ nhất của một tam giác tạo bởi ba điểm trong đó. Hãy xác định bậc tiệm cận của Δ(n)\Delta(n) khi n→∞n \to \infty.

Hiện trạng nghiên cứu tính đến năm 2026

Tính đến năm 2026, bài toán tam giác Heilbronn vẫn còn mở rộng, với một khoảng cách đa thức lớn giữa cận dưới tốt nhất hiện biết Δ(n)=Ω(log⁡n/n2)\Delta(n) = \Omega(\log n / n^2) (Komlós–Pintz–Szemerédi, 1982) và cận trên tốt nhất hiện biết Δ(n)≤n−7/6+o(1)\Delta(n) \le n^{-7/6 + o(1)} (Cohen–Pohoata–Zakharov, 2024, `arXiv:2409.07658`). Sau khi Komlós, Pintz và Szemerédi thiết lập Δ(n)≤n−8/7+o(1)\Delta(n) \le n^{-8/7 + o(1)} vào năm 1981, số mũ cận trên 8/7≈1.14298/7 \approx 1.1429 đã đứng yên suốt hơn bốn mươi năm cho tới khi Cohen, Pohoata và Zakharov (`arXiv:2305.18253`, 2023) cải thiện lên 8/7+1/20008/7 + 1/2000 rồi tiếp tục nâng lên 7/6≈1.16677/6 \approx 1.1667 vào năm 2024 bằng cách diễn giải lại lập luận dải của Roth theo ngôn ngữ liên thuộc đa thang đo giữa các điểm và các ống δ\delta.

Kết quả tốt nhất đã biết

  • Cận trên: Δ(n)≤n−7/6+o(1)\Delta(n) \le n^{-7/6 + o(1)} (Alex Cohen, Cosmin Pohoata và Dmitrii Zakharov, 2024, `arXiv:2409.07658`).
  • Cận dưới: Δ(n)=Ω(log⁡n/n2)\Delta(n) = \Omega(\log n / n^2) (János Komlós, János Pintz và Endre Szemerédi, 1982).

Công cụ và chỗ dừng

Công cụĐạt đượcChỗ dừng
Phương pháp tần số cao-thấp Fourier và liên thuộc điểm-ống đa thang đo (Cohen–Pohoata–Zakharov)Chuyển giả thiết không có tam giác diện tích nhỏ thành các cận dưới cho số liên thuộc giữa các điểm và các dải hẹp (ống δ\delta) qua nhiều thang đo, nâng số mũ cận trên từ 8/78/7 lên 7/67/6.Lập luận liên thuộc hai bước chỉ theo dõi được các cặp điểm và các dải do chúng xác định; để vươn tới số mũ gần 22 cần kiểm soát được các tương quan đa điểm bậc cao hơn.
Tập độc lập siêu đồ thị bán ngẫu nhiên (Ajtai–Komlós–Pintz–Spencer–Szemerédi)Tìm một tập độc lập trong siêu đồ thị 33-đều của các bộ ba tạo tam giác diện tích nhỏ có ít chu trình ngắn, thu thêm thừa số log⁡n\log n so với cấu trúc 1/n21/n^2 của Erdős.Ở ngưỡng diện tích ≫log⁡n/n2\gg \log n / n^2, các tam giác trong siêu đồ thị dùng chung cạnh và tạo thành các cụm cục bộ dày đặc làm phá vỡ điều kiện siêu đồ thị thưa chu trình.

Câu hỏi còn mở

  • Liệu bậc tiệm cận thực sự của Δ(n)\Delta(n) có bằng Θ(log⁡n/n2)\Theta(\log n / n^2), hay tồn tại các cấu hình đạt được Δ(n)≥n−2+δ\Delta(n) \ge n^{-2 + \delta} với δ>0\delta > 0 nào đó?

Tài liệu tham khảo

  1. János Komlós, János Pintz, Endre Szemerédi (1982). A lower bound for Heilbronn's problem · DOI:10.1112/jlms/s2-25.1.13
  2. Alex Cohen, Cosmin Pohoata, Dmitrii Zakharov (2023). A new upper bound for the Heilbronn triangle problem · arXiv:2305.18253
  3. Alex Cohen, Cosmin Pohoata, Dmitrii Zakharov (2024). Lower bounds for incidences · arXiv:2409.07658 [preprint, chưa bình duyệt]