Bài toán thứ mười sáu của Hilbert

Tính đến năm 2026, bài toán thứ mười sáu của Hilbert vẫn còn để ngỏ. Ở phần thứ hai về hệ động lực (cũng là bài toán thứ 13 của Smale), câu hỏi hữu hạn cho từng hệ riêng lẻ — liệu một trường vectơ đa thức $\dot{x}=P(x,y)$, $\dot{y}=Q(x,y)$ đơn lẻ có thể có vô hạn chu trình giới hạn hay không — đã được giải quyết theo chiều phủ định bởi Yulij Ilyashenko (1991) và Jean Écalle (1992), hai ông đã khắc phục lỗ hổng phát hiện năm 1981 trong chuyên khảo năm 1923 của Dulac bằng cách chứng minh chu trình giới hạn không thể tụ lại trên một đa chu trình (polycycle). Tuy nhiên, chặn đều $H(n)$ — cận trên đúng của số chu trình giới hạn lấy trên mọi hệ đa thức bậc $n$ — vẫn chưa biết có hữu hạn hay không với bất kỳ $n \ge 2$ nào. Ngay cả với hệ bậc hai ($n=2$), nơi Thi Tùng Linh (1980) đã dựng một ví dụ có 4 chu trình giới hạn và giả thuyết $H(2)=4$ được tin rộng rãi, chương trình Dumortier–Roussarie–Rousseau quy việc chứng minh $H(2)<\infty$ về kiểm tra tính chu trình hữu hạn của 121 đồ hình suy biến trên mặt cầu Poincaré vẫn chưa hoàn tất. Chặn dưới cho $n$ tổng quát tăng ít nhất cỡ $H(n) = \Omega(n^2 \log n)$ (Christopher–Lloyd, 1995). Ở phần thứ nhất về hình học đại số thực, các cấu hình đồng luân của đường cong phẳng không kỳ dị đã được phân loại hoàn toàn tới bậc $n \le 7$, còn từ bậc $8$ trở lên vẫn đang mở.