Giả thuyết Hodge

Tính đến năm 2026, giả thuyết Hodge vẫn còn mở trong trường hợp tổng quát. Trường hợp đối chiều 1 đã được giải quyết trọn vẹn bởi định lý $(1,1)$ của Lefschetz (1924), và đối chiều bằng $\dim X$ là hiển nhiên nhờ đối ngẫu Poincaré. Với đa tạp abel — từ lâu là bãi thử quan trọng nhờ cấu trúc tự đồng cấu phong phú — giả thuyết nay đã biết đúng ở mọi chiều tới 5: Tate xử lý lũy thừa của một đường cong elliptic, Tankeev và Ribet xử lý đa tạp abel đơn có chiều là số nguyên tố, Deligne chứng minh cho đa tạp kiểu CM bằng lý thuyết chu trình Hodge tuyệt đối của ông, và năm 2025 Markman hoàn tất chiều 4 và 5 bằng cách dựng chu trình đại số cho các lớp Weil vốn bí ẩn trước đó, dùng chùm cát tuyến. Ngoài chiều 5, và với đa tạp tổng quát (không phải abel) ở chiều cao hơn, chưa có kỹ thuật tương tự nào được biết, và phiên bản nguyên tinh chỉnh đã biết là sai (Atiyah–Hirzebruch, 1962), nên bất kỳ chứng minh nào cũng phải tạo ra chu trình đại số thật với hệ số hữu tỷ, chứ không chỉ hệ số tô pô.