卡迪森-辛格问题

设 $\mathcal{D} \cong \ell^\infty(\mathbb{N})$ 是可分希尔伯特空间 $\ell^2(\mathbb{N})$ 上全体有界线性算子构成的 $C^*$ 代数 $\mathcal{B}(\ell^2(\mathbb{N}))$ 中由对角有界线性算子组成的极大阿贝尔 $C^*$ 子代数。$\mathcal{D}$ 上的每个纯态 $\rho$ 是否都能唯一延拓为 $\mathcal{B}(\ell^2(\mathbb{N}))$ 上的纯态？

由亚当·W·马库斯、丹尼尔·A·斯皮尔曼与尼基尔·斯里瓦斯塔瓦于2013年6月给出肯定解答（2015年发表于 Annals of Mathematics）。他们没有直接处理超滤子与 $C^*$ 代数，而是证明了尼克·韦弗2004年提出的有限维偏差猜想 $\mathrm{KS}_2$：若 $v_1, \dots, v_m \in \mathbb{C}^d$ 对所有 $i$ 满足 $\sum_{i=1}^m v_i v_i^* = I_d$ 且 $\|v_i\|^2 \le \delta$，则可将 $\{1, \dots, m\}$ 划分为两个子集 $S_1, S_2$，使得对 $j = 1, 2$ 均有 $\left\|\sum_{i \in S_j} v_i v_i^*\right\| \le \frac{(1 + \sqrt{2\delta})^2}{2}$。他们利用交错多项式族方法与多变量实稳定多项式，通过分析“混合特征多项式”的最大根证明了这一界限。