Bài toán Kadison–Singer

Cho $\mathcal{D} \cong \ell^\infty(\mathbb{N})$ là $C^*$-đại số con giao hoán cực đại gồm các toán tử tuyến tính bị chặn đường chéo bên trong $C^*$-đại số $\mathcal{B}(\ell^2(\mathbb{N}))$ gồm mọi toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian Hilbert khả ly $\ell^2(\mathbb{N})$. Hỏi mọi trạng thái thuần khiết $\rho$ trên $\mathcal{D}$ có thác triển duy nhất thành một trạng thái thuần khiết trên $\mathcal{B}(\ell^2(\mathbb{N}))$ hay không?

Được giải theo chiều khẳng định vào tháng 6 năm 2013 bởi Adam W. Marcus, Daniel A. Spielman và Nikhil Srivastava (xuất bản trên Annals of Mathematics năm 2015). Thay vì làm việc trực tiếp với siêu lọc và các $C^*$-đại số, họ đã chứng minh giả thuyết sai lệch hữu hạn chiều năm 2004 $\mathrm{KS}_2$ của Nik Weaver: nếu $v_1, \dots, v_m \in \mathbb{C}^d$ thỏa mãn $\sum_{i=1}^m v_i v_i^* = I_d$ và $\|v_i\|^2 \le \delta$ với mọi $i$, thì $\{1, \dots, m\}$ có thể được phân hoạch thành hai tập $S_1, S_2$ sao cho $\left\|\sum_{i \in S_j} v_i v_i^*\right\| \le \frac{(1 + \sqrt{2\delta})^2}{2}$ với $j = 1, 2$. Họ chứng minh chặn này bằng cách phân tích các nghiệm lớn nhất của các "đa thức đặc trưng hỗn hợp" thông qua phương pháp các họ đan xen và các đa thức ổn định thực nhiều biến.