Bài toán mở, Đại số, nêu năm 1957

Các giả thuyết Kaplansky về vành nhóm

Giải một phần

Cho $K$ là một trường và $G$ là một nhóm không xoắn. Giả thuyết đơn vị khẳng định mọi phần tử khả nghịch của vành nhóm $K[G]$ đều tầm thường, tức có dạng $kg$ với $k \in K \setminus \{0\}$ và $g \in G$ . Giả thuyết ước của không khẳng định $K[G]$ không có ước của không không tầm thường. Giả thuyết lũy đẳng khẳng định $K[G]$ không có phần tử lũy đẳng nào khác $0$ và $1$ . Giả thuyết đơn vị kéo theo giả thuyết ước của không, giả thuyết này lại kéo theo giả thuyết lũy đẳng.

Hiện trạng nghiên cứu tính đến năm 2026

Tính đến năm 2026, giả thuyết đơn vị đã được giải quyết trọn vẹn là sai trên mọi đặc số (Gardam 2021, Murray 2021, Gardam 2023). Giả thuyết ước của không và lũy đẳng vẫn còn mở cho nhóm không xoắn tổng quát, dù đã chứng minh được cho các nhóm tùy ý sơ cấp, nhóm hyperbolic không xoắn (qua giả thuyết Farrell–Jones) và các nhóm thỏa giả thuyết Atiyah; nghiên cứu hiện tại còn tìm kích thước giá nhỏ nhất của đơn vị kiểu Gardam và xem có tồn tại đơn vị không tầm thường tương tự cho các nhóm gần tính chất tích duy nhất hay không.

Kết quả tốt nhất đã biết

Giả thuyết đơn vị sai trên mọi trường: một phản ví dụ tường minh với giá cỡ $21$ tồn tại trong $\mathbb{F}_2[P]$ (Gardam 2021), được mở rộng sang mọi $\mathbb{F}_p[P]$ (Murray 2021) và sang $\mathbb{C}[P]$ (Gardam 2023).
Giả thuyết ước của không đúng cho mọi nhóm tùy ý sơ cấp, và trong đặc số 0, đúng cho mọi nhóm thỏa giả thuyết Atiyah; giả thuyết lũy đẳng đúng cho mọi nhóm thỏa giả thuyết Farrell–Jones, bao gồm mọi nhóm hyperbolic và nhóm CAT(0).

Công cụ và chỗ dừng

Công cụ	Đạt được	Chỗ dừng
Giải SAT và tìm kiếm máy tính trên các quả cầu từ	Tìm ra phản ví dụ tường minh đầu tiên cho giả thuyết đơn vị bằng cách mã hóa phương trình đơn vị trên $\mathbb{F}_2[P]$ thành một thực thể thỏa mãn Boole	Chi phí tìm kiếm bằng máy tăng quá nhanh theo kích thước giá và độ phức tạp nhóm nên không thể kiểm tra được nhóm không xoắn tổng quát, đặc biệt trên các trường đặc số 0
Bộ máy miền Ore và giả thuyết Atiyah/Farrell–Jones	Chứng minh các giả thuyết ước của không và lũy đẳng cho các nhóm tùy ý sơ cấp, hyperbolic và CAT(0) bằng cách liên hệ $K[G]$ với địa phương hóa Ore và đối đồng điều $L^2$	Đòi hỏi các giả thiết cấu trúc (tính tùy ý, tính hyperbolic, hoặc các giả thuyết Farrell–Jones/Atiyah) chưa được chứng minh hoặc không đúng bên ngoài các lớp nhóm đã biết

Câu hỏi còn mở

Giả thuyết ước của không có đúng cho mọi nhóm không xoắn hay không, hay tồn tại phản ví dụ như đối với giả thuyết đơn vị?
Kích thước giá nhỏ nhất của một đơn vị không tầm thường trong $\mathbb{F}_2[G]$ trên một nhóm không xoắn $G$ bất kỳ là bao nhiêu; liệu $21$ có phải là tối ưu cho nhóm Promislow hay không?

Tài liệu tham khảo

Giles Gardam (2021). A counterexample to the unit conjecture for group rings · DOI:10.4007/annals.2021.194.3.9 · arXiv:2102.11818
Alan D. Murray (2021). Zero divisors and idempotents in group rings · arXiv:2106.02147
Giles Gardam (2023). Non-trivial units of complex group rings · arXiv:2312.05240 [preprint, chưa bình duyệt]