未解决问题，代数学，1957年提出

关于群环的卡普兰斯基猜想

部分解决

设 $K$ 为域， $G$ 为无挠群。单位猜想断言群环 $K[G]$ 的每个单位元都是平凡的，即形如 $kg$ （其中 $k \in K \setminus \{0\}$ ， $g \in G$ ）。零因子猜想断言 $K[G]$ 不存在非平凡零因子。幂等元猜想断言 $K[G]$ 除 $0$ 和 $1$ 外不存在其他幂等元。单位猜想蕴含零因子猜想，零因子猜想又蕴含幂等元猜想。

研究前沿截至2026年

截至2026年，单位猜想已在所有特征下完全确立为假（加达姆，2021年；默里，2021年；加达姆，2023年）。零因子猜想与幂等元猜想在一般无挠群上仍未解决，但已对初等顺从群、无挠双曲群（通过法雷尔–琼斯猜想）以及满足阿蒂亚猜想的群证明成立；目前的研究还在寻找加达姆型单位元的最小支撑规模，并探讨类似唯一积性质的群中是否存在类似的非平凡单位元。

已知最佳结果

单位猜想在每个域上都不成立： $\mathbb{F}_2[P]$ 中存在支撑规模为 $21$ 的显式反例（加达姆，2021年），并被推广到每个 $\mathbb{F}_p[P]$ （默里，2021年）与 $\mathbb{C}[P]$ （加达姆，2023年）。
零因子猜想对所有初等顺从群成立，在特征为0时对所有满足阿蒂亚猜想的群成立；幂等元猜想对所有满足法雷尔–琼斯猜想的群成立，包括所有双曲群与 CAT(0) 群。

使用的方法及其局限

方法	取得的结果	局限所在
SAT 求解与在字球上的计算机搜索	通过将 $\mathbb{F}_2[P]$ 上的单位元方程编码为布尔可满足性实例，找到了单位猜想的首个显式反例	计算搜索的代价随支撑规模与群的复杂度增长过快，难以检验一般的无挠群，尤其是特征为0的域
奥尔整环理论与阿蒂亚/法雷尔–琼斯猜想工具	通过将 $K[G]$ 与奥尔局部化及 $L^2$ -上同调相联系，证明了初等顺从群、双曲群与 CAT(0) 群的零因子猜想与幂等元猜想	依赖于顺从性、双曲性或法雷尔–琼斯/阿蒂亚猜想等结构性假设，而这些假设在已知群类之外尚未证明甚至可能不成立

尚未解决的问题

零因子猜想是否对所有无挠群成立，还是像单位猜想一样存在反例？
对任意无挠群 $G$ ， $\mathbb{F}_2[G]$ 中非平凡单位元的最小支撑规模是多少？对于普罗米斯洛群而言， $21$ 是否为最优值？

参考文献

Giles Gardam (2021). A counterexample to the unit conjecture for group rings · DOI:10.4007/annals.2021.194.3.9 · arXiv:2102.11818
Alan D. Murray (2021). Zero divisors and idempotents in group rings · arXiv:2106.02147
Giles Gardam (2023). Non-trivial units of complex group rings · arXiv:2312.05240 [预印本,未经同行评审]