Số nguyên tố dạng n² + 1 (bài toán thứ tư của Landau)

Tính đến năm 2026, bài toán thứ tư của Landau vẫn còn để ngỏ: chưa một đa thức một biến bậc $\ge 2$ nào được chứng minh là biểu diễn vô hạn số nguyên tố. Dãy $\{n^2 + 1 : n \le x\}$ chỉ có $\sqrt{x}$ phần tử dưới mốc $x$, thưa hơn rất nhiều so với bất kỳ khoảng ngắn $[x, x + x^\theta]$ nào hiện tiếp cận được, và các phương pháp sàng cổ điển bị rào cản chẵn lẻ chặn không cho phân biệt số nguyên tố ($P_1$) với tích của hai số nguyên tố ($P_2$). Kết quả vô điều kiện mang tính cột mốc vẫn là định lý năm 1978 của Henryk Iwaniec rằng $n^2 + 1$ là số hầu nguyên tố $P_2$ vô hạn lần, với $\#\{n \le x : n^2 + 1 \in P_2\} \gg x / \log x$. Hướng tấn công thứ hai tìm chặn dưới cho ước nguyên tố lớn nhất $P^+(n^2 + 1)$: nếu chứng minh được $P^+(n^2 + 1) > n^2$ vô hạn lần thì chính $n^2 + 1$ phải là số nguyên tố; Jori Merikoski (2023, arXiv:1908.08816) đã đẩy số mũ này lên $P^+(n^2 + 1) \ge n^{1.279}$ vô hạn lần (và lên $1.312$ trong công trình tiếp theo). Với các đa thức hai biến có mật độ $x^{3/4}$ hoặc $x^{2/3}$, rào cản chẵn lẻ đã bị phá vỡ: Friedlander và Iwaniec (1998) chứng minh có vô hạn số nguyên tố dạng $a^2 + b^4$, và Heath-Brown (2001) chứng minh điều tương tự cho $a^3 + 2b^3$.