未解决问题，算术与数论，1808年提出

勒让德猜想

未解决兰道 #3

对每个正整数 $n \ge 1$ ,在 $n^2$ 与 $(n+1)^2$ 之间严格存在至少一个素数 $p$ :即 $n^2 < p < (n+1)^2$ 。

研究前沿截至2026年

截至2026年,勒让德猜想仍未解决。令 $x = n^2$ ,区间 $(n^2, (n+1)^2)$ 的长度为 $2x^{1/2} + 1$ ,因此勒让德猜想要求保证每个短区间 $[x, x + 2x^{1/2}]$ 内都存在素数。目前最强的无条件短区间素数定理来自贝克、哈曼与平茨(2001年),他们将哈曼筛法与瓦特关于狄利克雷多项式的均值定理结合,证明了对所有充分大的 $x$ ,区间 $[x, x + x^{0.525}]$ 内必有素数。即便假设黎曼猜想成立,也只能得到 $p_{k+1} - p_k = O(p_k^{1/2} \log p_k)$ (克拉梅尔,1920年),与勒让德猜想所需的界仍差一个对数因子。在殆素数方向,陈景润(1975年)证明了区间 $[x, x + x^{1/2}]$ ——特别是大 $n$ 时的 $[n^2, (n+1)^2]$ ——总包含一个至多有两个素因子的 $P_2$ 数。在数值方面,最大素数间隔已检验至超过 $2^{64} \approx 1.84 \times 10^{19}$ ,从而在远超 $n = 4 \times 10^9$ 的范围内验证了勒让德猜想。

已知最佳结果

对所有充分大的 $x$ ,短区间 $[x, x + x^{0.525}]$ 内至少包含一个素数(贝克–哈曼–平茨,2001年)。
对所有充分大的 $n$ ,区间 $[n^2, (n+1)^2]$ 内包含一个至多有两个素因子的 $P_2$ 数(陈景润,1975年)。
对所有充分大的 $n$ ,相邻立方数 $n^3$ 与 $(n+1)^3$ 之间总存在素数(英厄姆,1937年)。

使用的方法及其局限

方法	取得的结果	局限所在
哈曼筛法与狄利克雷多项式均值估计	将 $\zeta(s)$ 的零点密度估计与素数示性函数的筛法分解相结合,在区间 $[x, x + x^\theta]$ 中将素数检测指数推进到 $\theta = 0.525$ (贝克–哈曼–平茨,2001年)。	即便假设林德勒夫猜想与黎曼猜想成立,经典的显式公式与筛法在 $\theta = 1/2$ 处仍会遇到带有额外对数损失 $x^{1/2} \log x$ 的平方根壁垒。
短区间加权线性筛法(陈景润;伊瓦涅茨–拉博德)	证明了当 $\theta = 0.45$ 时区间 $[x, x + x^\theta]$ 内包含 $P_2$ 殆素数(伊瓦涅茨–拉博德,1981年),远低于 $[n^2, (n+1)^2]$ 所需的 $\theta = 1/2$ (陈景润,1975年)。	受限于筛法理论的奇偶性壁垒——无法区分只有一个素因子的数与两个素数的乘积——在 $\theta = 1/2$ 处无法分离出真正的素数( $P_1$ )。

尚未解决的问题

特别是在2024年古斯–梅纳德零点密度估计的推动下,贝克–哈曼–平茨的短区间指数 $0.525$ 能否无条件降低到 $1/2$ ?
能否通过消去克拉梅尔素数间隔界 $p_{k+1} - p_k = O(p_k^{1/2} \log p_k)$ 中的 $\log x$ 因子,在黎曼猜想下条件性地证明勒让德猜想?

参考文献

Adrien-Marie Legendre (1808). Essai sur la théorie des nombres
Albert E. Ingham (1937). On the difference between consecutive primes · DOI:10.1093/qmath/os-8.1.255
Jing-Run Chen (1975). On the distribution of almost primes in an interval
Henryk Iwaniec, Marc Laborde (1981). $P_2$ in short intervals · DOI:10.5802/aif.848
Henryk Iwaniec, János Pintz (1984). Primes in short intervals · DOI:10.1007/bf02385465
Roger C. Baker, Glyn Harman, János Pintz (2001). The difference between consecutive primes, II · DOI:10.1112/plms/83.3.532