Giả thuyết Legendre

Tính đến năm 2026, giả thuyết Legendre vẫn còn để ngỏ. Đặt $x = n^2$, khoảng $(n^2, (n+1)^2)$ có độ dài $2x^{1/2} + 1$, nên giả thuyết Legendre đòi hỏi phải bảo đảm có một số nguyên tố trong mọi khoảng ngắn $[x, x + 2x^{1/2}]$. Định lý số nguyên tố trong khoảng ngắn vô điều kiện mạnh nhất thuộc về Baker, Harman và Pintz (2001), những người đã kết hợp sàng Harman với định lý giá trị trung bình của Watt cho đa thức Dirichlet để chứng minh khoảng $[x, x + x^{0.525}]$ luôn chứa một số nguyên tố với mọi $x$ đủ lớn. Ngay cả giả thuyết Riemann cũng chỉ cho $p_{k+1} - p_k = O(p_k^{1/2} \log p_k)$ (Cramér, 1920), vẫn hụt ngưỡng của Legendre một thừa số logarit. Theo hướng số hầu nguyên tố, Trần Cảnh Nhuận (Chen, 1975) đã chứng minh khoảng $[x, x + x^{1/2}]$ — và nói riêng $[n^2, (n+1)^2]$ với $n$ lớn — luôn chứa một số $P_2$ có tối đa hai ước nguyên tố. Về mặt số học, các khoảng cách nguyên tố cực đại đã được kiểm tra vượt quá $2^{64} \approx 1.84 \times 10^{19}$, xác minh giả thuyết Legendre vượt xa $n = 4 \times 10^9$.