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未解决问题，几何学，1966年提出

莫泽蠕虫问题

未解决

在平面上寻找一个面积 μ(K)\mu(K) 尽可能小的可测区域 K⊂R2K \subset \mathbb{R}^2（通常还要求是凸集），使得任意长度为 11 的可求长平面曲线都能通过刚体运动（平移与旋转）完全放入 KK 内。

研究前沿 截至2026年

截至2026年，莫泽蠕虫问题的凸版本与非凸版本均处于未决状态，最优覆盖的确切形状仍不得而知。对于刚体运动下的凸覆盖，最小面积 μconv\mu_{\text{conv}} 被限制在区间 0.232239≤μconv≤π/12≈0.26180.232239 \le \mu_{\text{conv}} \le \pi/12 \approx 0.2618 内。若允许非凸覆盖，诺伍德与普尔的构造达到了 0.2604370.260437 的面积，严格小于经同行评审的最佳凸覆盖，但非凸覆盖面积的下确界究竟能否由具有分段光滑边界的区域达到，目前仍不清楚。

已知最佳结果

  • 对于凸覆盖，经同行评审的最小面积上界为由圆心角 30∘30^\circ 的单位扇形给出的 μconv≤π/12≈0.261799\mu_{\text{conv}} \le \pi/12 \approx 0.261799（潘拉克萨与维奇拉马拉，2021年）。
  • 对于一般可测覆盖（允许非凸），目前已知的最小面积上界为 μ≤0.260437\mu \le 0.260437（诺伍德与普尔，2003年）。
  • 凸通用覆盖经严格证明的最佳下界为 μconv≥0.232239\mu_{\text{conv}} \ge 0.232239（坎达维特、帕戈纳基斯与斯里斯瓦斯迪，2013年）。

使用的方法及其局限

方法取得的结果局限所在
有限测试集凸包优化（坎达维特-帕戈纳基斯-斯里斯瓦斯迪）通过最小化若干显式曲线（单位线段、正三角形和矩形）放置方式的凸包面积，建立了 μconv≥0.232239\mu_{\text{conv}} \ge 0.232239增加更多测试曲线会导致刚体放置构型空间的维数呈指数级爆炸，使严格的分支定界计算机验证变得难以处理
圆扇形与几何裁剪（韦策尔、诺伍德-普尔、王伟、潘拉克萨-维奇拉马拉）证明任何单位曲线都可通过旋转使其支撑线和跨度落入扇形或裁剪区域内，从而给出经同行评审的最佳上界 π/12≈0.2618\pi/12 \approx 0.2618（凸）和 0.2604370.260437（非凸）依赖于手工设计的区域族以及基于曲线直径与宽度的充分条件，缺乏对最优边界的变分刻画

尚未解决的问题

  • 单位长度平面曲线的凸通用覆盖的精确最小面积 μconv\mu_{\text{conv}} 是多少？
  • 是否存在面积最小的非凸可测覆盖？其面积是否严格小于 μconv\mu_{\text{conv}}？

参考文献

  1. Rick Norwood, George Poole (2003). An improved upper bound for Leo Moser's worm problem · DOI:10.1007/s00454-002-0774-3
  2. Chatchawan Panraksa, Wacharin Wichiramala (2021). Wetzel's sector covers unit arcs · DOI:10.1007/s10998-020-00354-x · arXiv:1907.07351
  3. Tirasan Khandhawit, Dimitrios Pagonakis, Sira Sriswasdi (2013). Lower bound for convex hull area and universal cover problems · DOI:10.1142/S0218195913500076 · arXiv:1101.5638