Math Labs

Bài toán mở, Hình học, nêu năm 1966

Bài toán con sâu của Moser

Còn mở

Tìm một miền đo được K⊂R2K \subset \mathbb{R}^2 (thường đòi hỏi thêm tính lồi) có diện tích μ(K)\mu(K) nhỏ nhất có thể sao cho mọi đường cong phẳng hữu hạn chiều dài bằng 11 đều có thể đặt nằm trọn trong KK qua một phép dời hình (tịnh tiến và quay).

Hiện trạng nghiên cứu tính đến năm 2026

Tính đến năm 2026, cả hai phiên bản lồi và không lồi của bài toán con sâu Moser vẫn chưa có lời giải, và hình dạng chính xác của miền phủ tối ưu vẫn chưa được biết. Đối với miền phủ lồi dưới phép dời hình, diện tích tối tiểu μconv\mu_{\text{conv}} nằm trong khoảng 0.232239≤μconv≤π/12≈0.26180.232239 \le \mu_{\text{conv}} \le \pi/12 \approx 0.2618. Khi cho phép miền phủ không lồi, cấu trúc của Norwood và Poole đạt diện tích 0.2604370.260437, nhỏ hơn thực sự so với miền phủ lồi đã qua bình duyệt tốt nhất, dù người ta thậm chí còn chưa biết liệu cận dưới đúng của miền phủ không lồi có đạt được bởi một miền có biên trơn từng khúc hay không.

Kết quả tốt nhất đã biết

  • Đối với miền phủ lồi, diện tích nhỏ nhất đã qua bình duyệt là μconv≤π/12≈0.261799\mu_{\text{conv}} \le \pi/12 \approx 0.261799 đạt bởi hình quạt tròn đơn vị góc 30∘30^\circ (Panraksa và Wichiramala, 2021).
  • Đối với miền phủ đo được tùy ý (cho phép không lồi), diện tích nhỏ nhất đã biết là μ≤0.260437\mu \le 0.260437 (Norwood và Poole, 2003).
  • Chặn dưới được kiểm chứng tốt nhất cho miền phủ vạn năng lồi là μconv≥0.232239\mu_{\text{conv}} \ge 0.232239 (Khandhawit, Pagonakis và Sriswasdi, 2013).

Công cụ và chỗ dừng

Công cụĐạt đượcChỗ dừng
Tối ưu hóa bao lồi trên tập thử hữu hạn (Khandhawit–Pagonakis–Sriswasdi)Thiết lập μconv≥0.232239\mu_{\text{conv}} \ge 0.232239 bằng cách cực tiểu hóa diện tích bao lồi của các vị trí đặt một số đường cong tường minh (đoạn thẳng đơn vị, tam giác đều và hình chữ nhật)Khi thêm nhiều đường cong thử hơn, số chiều của không gian cấu hình các phép dời hình tăng bùng nổ theo hàm mũ, khiến việc kiểm chứng nhánh - cận chặt chẽ trở nên bất khả thi về mặt tính toán
Hình quạt tròn và cắt tỉa hình học (Wetzel, Norwood–Poole, Wang, Panraksa–Wichiramala)Đạt được các chặn trên đã qua bình duyệt tốt nhất π/12≈0.2618\pi/12 \approx 0.2618 (lồi) và 0.2604370.260437 (không lồi) bằng cách chứng minh mọi đường cong đơn vị đều có thể quay sao cho đường tựa và tầm trải nằm gọn trong hình quạt hoặc miền cắt tỉaPhụ thuộc vào các họ miền được thiết kế thủ công và các điều kiện đủ dựa trên đường kính/bề rộng đường cong, thay vì một đặc trưng biến phân của biên tối ưu

Câu hỏi còn mở

  • Diện tích tối tiểu chính xác μconv\mu_{\text{conv}} của một miền phủ vạn năng lồi cho các đường cong phẳng độ dài đơn vị là bao nhiêu?
  • Có tồn tại miền phủ đo được không lồi đạt diện tích nhỏ nhất hay không, và diện tích của nó có thực sự nhỏ hơn μconv\mu_{\text{conv}} không?

Tài liệu tham khảo

  1. Rick Norwood, George Poole (2003). An improved upper bound for Leo Moser's worm problem · DOI:10.1007/s00454-002-0774-3
  2. Chatchawan Panraksa, Wacharin Wichiramala (2021). Wetzel's sector covers unit arcs · DOI:10.1007/s10998-020-00354-x · arXiv:1907.07351
  3. Tirasan Khandhawit, Dimitrios Pagonakis, Sira Sriswasdi (2013). Lower bound for convex hull area and universal cover problems · DOI:10.1142/S0218195913500076 · arXiv:1101.5638