MathLabs

Bài toán mở, Số học và Lý thuyết số, Giải tích, nêu năm 1859

Giả thuyết Riemann

Còn mởMillenniumHilbert #8

Mọi không điểm không tầm thường của hàm zeta Riemann ζ(s)=∑n=1∞n−s\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} n^{-s} (được thác triển giải tích lên C∖{1}\mathbb{C}\setminus\{1\}) đều có phần thực đúng bằng 12\tfrac{1}{2}.

Người nêu, 1859Bernhard Riemann
Hiện trạng nghiên cứu tính đến năm 2026

Tính đến năm 2026, giả thuyết Riemann vẫn còn để ngỏ. Ước lượng mật độ không điểm vô điều kiện mạnh nhất đến từ cải tiến năm 2024 của Guth và Maynard đối với chặn năm 1940 của Ingham, cho N(σ,T)≤T30(1−σ)13+o(1)N(\sigma,T) \le T^{\frac{30(1-\sigma)}{13}+o(1)} (arXiv:2405.20552); bài báo sắp được công bố trên Annals of Mathematics. Đây là cải tiến cấu trúc đầu tiên đối với số mũ này sau hơn tám mươi năm, và nó làm sắc nét các kết quả về số nguyên tố trong khoảng ngắn. Hơn 5/12 tổng số không điểm không tầm thường được biết vô điều kiện là nằm trên đường tới hạn, và hơn 40,75% được biết là không điểm đơn nằm trên đường tới hạn (Pratt–Robles–Zaharescu–Zeindler, 2020). Về mặt số học, 101310^{13} không điểm đầu tiên (Gourdon, 2004) và nhiều khối không điểm lớn khác gần độ cao 102410^{24} đều nằm trên đường này, nhưng không phép tính hữu hạn nào có thể giải quyết một phát biểu vô hạn.

Kết quả tốt nhất đã biết

  • Chặn mật độ không điểm của Guth–Maynard (2024) N(σ,T)≤T30(1−σ)13+o(1)N(\sigma,T) \le T^{\frac{30(1-\sigma)}{13}+o(1)}, cải tiến cấu trúc đầu tiên sau hơn 80 năm so với số mũ của Ingham năm 1940 (arXiv:2405.20552).
  • Hơn 5/12 không điểm không tầm thường được biết là nằm trên đường tới hạn, và hơn 40,75% là không điểm đơn trên đường tới hạn (Pratt–Robles–Zaharescu–Zeindler, 2020).
  • 101310^{13} không điểm đầu tiên, cùng nhiều khối không điểm lớn gần độ cao 102410^{24}, đã được xác minh bằng số là nằm trên đường tới hạn (Gourdon, 2004).

Công cụ và chỗ dừng

Công cụĐạt đượcChỗ dừng
Ước lượng mật độ không điểm cho đa thức DirichletChặn số lượng không điểm có thể nằm ngoài đường tới hạn, cho các kết quả vô điều kiện về số nguyên tố trong khoảng ngắn (Guth–Maynard 2024 đẩy số mũ lên 30/13).Còn cách rất xa việc loại bỏ hoàn toàn không điểm ngoài đường tới hạn; nó chỉ cho thấy chúng hiếm.
Phương pháp Levinson (mô-men làm mềm)Chứng minh một tỉ lệ dương không điểm nằm trên đường tới hạn (hiện hơn 5/12, với hơn 40,75% là không điểm đơn, Pratt–Robles–Zaharescu–Zeindler 2020).Không thể đạt tới đủ 100% cần thiết cho một chứng minh, và các cải tiến đã chậm lại đáng kể.
Xác minh số học quy mô lớnXác nhận 101310^{13} không điểm đầu tiên, cùng các điểm kiểm tra gần độ cao 102410^{24}, đều nằm đúng trên đường (Gourdon, 2004).Kiểm tra hữu hạn không điểm không bao giờ có thể chứng minh một phát biểu về vô hạn không điểm.

Câu hỏi còn mở

  • Liệu số mũ mật độ không điểm có thể được đẩy đủ thấp để suy ra trực tiếp giả thuyết Riemann, hay cần một phương pháp về căn bản khác?
  • Liệu ước lượng của Guth–Maynard có cho số hạng sai số tối ưu trong định lý số nguyên tố hay không, hay số mũ x17/30x^{17/30} cho số nguyên tố trong khoảng ngắn còn có thể hạ thấp hơn?

Tài liệu tham khảo

  1. Bernhard Riemann (1859). Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe · DOI:10.1017/CBO9781139568050.008
  2. Larry Guth, James Maynard (2024). New large value estimates for Dirichlet polynomials · arXiv:2405.20552 [preprint, chưa bình duyệt]
  3. Kyle Pratt, Nicolas Robles, Alexandru Zaharescu, Dirk Zeindler (2020). More than five-twelfths of the zeros of ζ are on the critical line · arXiv:1802.10521
  4. Xavier Gourdon (2004). The 101310^{13} first zeros of the Riemann zeta function, and zeros computation at very large height