Giả thuyết Ringel (phân rã duyên dáng)

Với mọi số nguyên dương $n$ và mọi cây $T$ có $n$ cạnh, đồ thị đầy đủ $K_{2n+1}$ có thể được phân rã thành $2n+1$ đồ thị con đôi một rời nhau theo cạnh và đều đẳng cấu với $T$.

Richard Montgomery, Alexey Pokrovskiy và Benny Sudakov công bố chứng minh vào tháng 1 năm 2020 (xuất bản trên Geometric and Functional Analysis năm 2021), khẳng định giả thuyết Ringel cho mọi $n$ đủ lớn. Chứng minh của họ tìm một bản sao cầu vồng của mọi cây $T$ có $n$ cạnh trong phép tô màu cạnh theo khoảng cách tự nhiên của $K_{2n+1}$ — mà $2n+1$ phép dịch chuyển vòng quanh của nó phân rã $K_{2n+1}$ — bằng cách kết hợp phép nhúng tất định cho các đỉnh bậc cao, phép nhúng ngẫu nhiên bảo toàn tính độc lập thống kê, và kỹ thuật hấp thụ phân phối. Kết quả này giải quyết giả thuyết Ringel về mặt tiệm cận mà không cần giải quyết giả thuyết cây duyên dáng Ringel–Kotzig mạnh hơn.