未解决问题，算术与数论，1958年提出

欣策尔假设 H 与布尼亚科夫斯基猜想

未解决

对 $\mathbb{Z}[x]$ 中任意有限个首项系数为正的非常数不可约多项式 $\{f_1(x), \dots, f_k(x)\}$ ,若不存在素数 $p$ 对所有整数 $n$ 都整除乘积 $f_1(n)\cdots f_k(n)$ ,则存在无穷多个正整数 $n$ 使得 $f_1(n), \dots, f_k(n)$ 同时为素数。其中 $k=1$ 的情形即为布尼亚科夫斯基猜想。

研究前沿截至2026年

截至2026年,布尼亚科夫斯基猜想对任何一个次数 $\ge 2$ 的多项式均未获证,欣策尔假设 H 对任意多项式对( $k \ge 2$ )也同样未决。最接近的无条件结果要么将素性放宽为殆素性——例如伊万涅茨1978年证明 $n^2+1$ 无穷多次至多含两个素因子——要么将单变量多项式替换为密度更高的双变量多项式,如弗里德兰德–伊万涅茨定理( $a^2+b^4$ ,1998年)和希思-布朗定理( $a^3+2b^3$ ,2001年)。对于线性形式系统 $\{x+h_1, \dots, x+h_k\}$ ,梅纳德–陶哲轩筛法(2013年)证明了对任意 $m$ ,只要 $k$ 足够大,就有无穷多个整数使得其中至少 $m$ 个线性形式同时为素数,从而确立了迪克森猜想的一个弱存在性片段。

已知最佳结果

当 $k=1$ 且 $\deg f_1 = 1$ 时,布尼亚科夫斯基猜想由算术级数中的狄利克雷素数定理(1837年)证实。
对任意无固定素因子的不可约二次多项式 $f(x)$ ,存在无穷多个 $n$ 使得 $f(n)$ 至多有两个素因子(伊万涅茨,1978年)。
对由 $k$ 个一次多项式组成的任意容许元组,当 $k \ge C e^{4m}$ 时,其中至少有 $m$ 个多项式无穷多次同时取素数值(梅纳德、陶哲轩、Polymath8b,2013–2014年)。

使用的方法及其局限

方法	取得的结果	局限所在
半维筛法与加权线性筛法	为单个多项式及有界次数多项式系统给出殆素数值( $P_r$ )。	无法跨越奇偶性障碍以保证得到真正的素数( $P_1$ ),且次数 $d \ge 2$ 的多项式序列的分布水平过小。
梅纳德–陶哲轩多维筛法	当多项式满足邦别里–维诺格拉多夫型定理时,可在更大的 $k$ 个容许组中找到至少 $m$ 个同时取素数值的子集。	要求 $k$ 远大于 $m$ (因此无法证明全部 $k$ 个多项式同时为素数),且依赖于目前主要仅对一次多项式已知的分布水平估计。

尚未解决的问题

是否存在任何一个次数 $\ge 2$ 的单变量多项式 $f(x) \in \mathbb{Z}[x]$ 能取无穷多个素数值?
能否将梅纳德–陶哲轩的有界簇定理无条件推广到不可约二次多项式的容许族?

参考文献

Andrzej Schinzel, Wacław Sierpiński (1958). Sur certaines hypothèses concernant les nombres premiers · DOI:10.4064/aa-4-3-185-208
Paul T. Bateman, Roger A. Horn (1962). A heuristic asymptotic formula concerning the distribution of prime numbers · DOI:10.1090/S0025-5718-1962-0148632-7
Henryk Iwaniec (1978). Almost-primes represented by quadratic polynomials · DOI:10.1007/BF01578070