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未解决问题，概率与统计，1949年提出

自回避行走的临界指数

未解决

设 cnc_n 为 Zd\mathbb{Z}^d 上从原点出发的 nn 步自回避行走的数目，RnR_n 为均匀随机选取的这类行走的首末位移均方根。证明当 n→∞n \to \infty 时存在临界指数 γ\gamma、ν\nu 使得 cn∼Aμnnγ−1c_n \sim A \mu^n n^{\gamma - 1} 且 Rn∼BnνR_n \sim B n^{\nu}，并确定它们在维数 d=2d = 2 与 d=3d = 3 下的精确值。

研究前沿 截至2026年

截至2026年，平均场指数 ν=1/2\nu = 1/2、γ=1\gamma = 1 已在 d≥5d \ge 5 时得到严格确立（原隆–斯莱德，1992年），上临界维数 d=4d = 4 处的对数修正也已通过重整化群方法严格证明（鲍尔施密特–布里奇斯–斯莱德及合作者）。在 d=2d = 2 中，仅有连通常数 μ=2+2\mu = \sqrt{2+\sqrt{2}}（杜米尼-科潘–斯米尔诺夫，2010年）得到精确证明；尼恩豪斯预言的指数 ν=3/4\nu = 3/4、γ=43/32\gamma = 43/32 仍属猜测，其正确性依赖于标度极限尚未证明的共形不变性。在 d=3d = 3 中，甚至连指数的存在性都未被证明，更遑论计算其数值；蒙特卡洛估计给出 ν≈0.5876\nu \approx 0.5876，γ≈1.1568\gamma \approx 1.1568。

已知最佳结果

  • 平均场指数 ν=1/2\nu = 1/2 与 γ=1\gamma = 1 已通过蕾丝展开在 d≥5d \ge 5 时得到证明（原隆–斯莱德，1992年），且指数为 1/41/4 的对数修正已在 d=4d = 4 通过严格重整化群分析得到证明。
  • 六角格子上的连通常数已精确证明为 μ=2+2\mu = \sqrt{2+\sqrt{2}}（杜米尼-科潘–斯米尔诺夫，2010年），但相应的 d=2d = 2 临界指数 ν,γ\nu, \gamma 仍属猜测。

使用的方法及其局限

方法取得的结果局限所在
蕾丝展开通过控制围绕简单随机游走的收敛微扰级数，严格证明了 d≥5d \ge 5 时的高斯平均场标度与临界指数当 d≈5d \approx 5 时展开系数增长过大而无法求和，因为低维中自相交过于频繁，导致微扰级数无法收敛
猜想的共形不变性与施拉姆–勒夫纳演化（SLE8/3_{8/3}）预言了精确的二维指数 ν=3/4\nu = 3/4、γ=43/32\gamma = 43/32，并将自回避行走的猜想标度极限识别为参数 κ=8/3\kappa = 8/3 的 SLE（劳勒–施拉姆–维尔纳，2004年，以共形不变性为前提条件）自回避行走标度极限的共形不变性本身尚未被证明，因此包括指数取值在内的所有结论都仍是有条件的

尚未解决的问题

  • Z3\mathbb{Z}^3 上自回避行走的临界指数 ν\nu 与 γ\gamma（在上述渐近意义下）是否存在？若存在，其精确值是多少？
  • Z2\mathbb{Z}^2 上自回避行走的标度极限是否共形不变，是否收敛到 SLE8/3\mathrm{SLE}_{8/3}？

参考文献

  1. Neal Madras, Gordon Slade (1993). Random Walks in Random and Non-Random Environments
  2. Takashi Hara, Gordon Slade (1992). Self-avoiding walk in five or more dimensions I: The critical behaviour · DOI:10.1007/BF02096738
  3. Hugo Duminil-Copin, Stanislav Smirnov (2011). Conformal invariance of lattice models · arXiv:1109.1549
  4. Roland Bauerschmidt, David C. Brydges, Gordon Slade (2015). Logarithmic correction for the susceptibility of the 4-dimensional weakly self-avoiding walk: a renormalisation group analysis · arXiv:1403.7422