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未解决问题，分析学，1958年提出

森多夫猜想

部分解决

设 f(z)=(z−z1)(z−z2)⋯(z−zn)f(z) = (z - z_1)(z - z_2)\cdots(z - z_n) 是次数 n≥2n \ge 2 的复系数多项式，其零点 z1,…,znz_1, \dots, z_n 全部位于闭单位圆盘 D‾={z∈C:∣z∣≤1}\overline{\mathbb{D}} = \{z \in \mathbb{C} : |z| \le 1\} 内。以 ff 的任一零点 zkz_k 为圆心、半径为 11 的闭圆盘 {z∈C:∣z−zk∣≤1}\{z \in \mathbb{C} : |z - z_k| \le 1\} 是否必定包含 ff 的至少一个临界点 ζ\zeta（即满足 f′(ζ)=0f'(\zeta) = 0）？

研究前沿 截至2026年

继陶哲轩于2020年证明（2022年发表）森多夫猜想对所有次数 n≥n0n \ge n_0 成立之后，原则上仅剩有限多个中间次数 9≤n<n09 \le n < n_0 尚未解决。然而，由于在所考察的零点 zkz_k 接近 00 的区域内，陶哲轩的证明依赖于紧致性与反证法，常数 n0n_0 是非构造性的（或在定量化后呈现天文数字级别），这在已验证的低次数 n≤8n \le 8 与高次渐近区域之间留下了差距。

已知最佳结果

  • 陶哲轩（2020/2022年）：存在绝对常数 n0n_0，使得森多夫猜想对所有次数 n≥n0n \ge n_0 的多项式均成立。
  • 布朗与项光平（1999年）：森多夫猜想对所有次数 2≤n≤82 \le n \le 8 的多项式均成立。
  • 博亚诺夫、拉赫曼与希纳尔（1985年）：对任意次数 n≥2n \ge 2 及任意零点 zk∈D‾z_k \in \overline{\mathbb{D}}，在距 zkz_k 不超过 (1+∣z1z2⋯zn∣)1/n≤21/n(1 + |z_1 z_2 \cdots z_n|)^{1/n} \le 2^{1/n} 的范围内必存在一个临界点。

使用的方法及其局限

方法取得的结果局限所在
格雷斯共轭定理与对数导数估计（代戈–查莱布格瓦）当 ∣zk∣|z_k| 远离 00 和 11 时，给出了带有显式次数界限的证明当 ∣zk∣→0|z_k| \to 0 或 ∣zk∣→1|z_k| \to 1 时，显式次数阈值 N(a)N(a) 会趋于无穷
位势论、测度扫除（balayage）与紧致性方法（陶哲轩）在 zk→0z_k \to 0 或 ∣zk∣→1|z_k| \to 1 时控制了 n→∞n \to \infty 过程中零点与临界点的渐近分布超幂与紧致性论证无法给出足够小的阈值 n0n_0 以供计算机逐一验证剩余次数

尚未解决的问题

  • 能否将陶哲轩定理中的高次阈值 n0n_0 降至 n0=9n_0 = 9，从而完成森多夫猜想对所有次数 n≥2n \ge 2 的完整证明？

参考文献

  1. Terence Tao (2022). Sendov's conjecture for sufficiently-high-degree polynomials · DOI:10.4310/ACTA.2022.v229.n2.a3 · arXiv:2012.04125
  2. Johnny E. Brown, Guangping Xiang (1999). Proof of the Sendov conjecture for polynomials of degree at most eight · DOI:10.1006/jmaa.1999.6277
  3. Jérôme Dégot (2014). Sendov conjecture for high degree polynomials · DOI:10.1090/S0002-9939-2014-11888-0