未解决问题，拓扑学，1961年提出

四维光滑庞加莱猜想

未解决

每一个与 $4$ 维球面 $S^4$ 同伦等价（由弗里德曼定理，这等价于与 $S^4$ 同胚）的闭光滑 $4$ 维流形 $M$ ，是否必然与赋予标准光滑结构的 $S^4$ 微分同胚？

研究前沿截至2026年

截至2026年，四维光滑庞加莱猜想仍完全未决，学界对于是否存在怪异 $S^4$ 亦莫衷一是。在正面消解方向，柯比演算已证明大批潜在反例（包括卡佩尔-沙内森球面以及沿带状 $2$ -纽结与旋转纽结的格卢克扭转）实际上都是标准光滑球面。在障碍不变量方向，规范场论与弗洛尔同调不变量（唐纳森、塞伯格-威滕、希盖尔·弗洛尔）在同伦 $4$ 维球面上均归于平凡，而科瓦诺夫同调与拉斯穆森 $s$ -不变量（由弗里德曼、贡普夫、莫里森和沃克于2010年引入该领域）仍是探测怪异 $S^4$ 的主要候选工具。

已知最佳结果

每一个与 $S^4$ 同伦等价的闭光滑 $4$ 维流形在拓扑上都与 $S^4$ 同胚（弗里德曼，1982年），并且在与有限多个 $S^2 \times S^2$ 作连通和后与标准 $S^4 \# k(S^2 \times S^2)$ 微分同胚（沃尔，1964年）。
沿 $S^4$ 中所有带状 $2$ -纽结、旋转纽结与扭转旋转纽结所作的格卢克扭转，以及已知的卡佩尔-沙内森球面族，均已被证明与标准 $S^4$ 微分同胚（格卢克 1962年、戈登 1976年、阿克布卢特 2010年、贡普夫 2010年）。

使用的方法及其局限

方法	取得的结果	局限所在
规范场论与弗洛尔同调（唐纳森、塞伯格-威滕、奥兹瓦特-萨博）	成功探测出满足 $b_2^+ > 0$ 的闭 $4$ 维流形上的无穷多个怪异光滑结构，以及不可数多个怪异 $\mathbb{R}^4$	在同伦 $4$ 维球面上，二阶同调群 $H_2(M;\mathbb{Z}) = 0$ 平凡，导致塞伯格-威滕不变量与唐纳森不变量恒为零
科瓦诺夫纠结千层面模与拉斯穆森 $s$ -不变量（弗里德曼-贡普夫-莫里森-沃克、马诺列斯库-内塔拉特）	无需 $b_2^+ > 0$ 假设即可直接由组合链环图构造光滑 $4$ 维流形不变量与切片亏格界，成功区分了带边紧致 $4$ 维流形上的怪异光滑结构	马诺列斯库与马伦贡（2020年）证明，仅靠拉斯穆森 $s$ -不变量来推翻四维光滑庞加莱猜想的弗里德曼-贡普夫-莫里森-沃克原始方案若无额外四维信息输入则无法成功

尚未解决的问题

是否存在光滑嵌入的 $2$ 维球面 $K \subset S^4$ ，使得对其作格卢克扭转所得的流形 $\Sigma_K$ 与标准 $S^4$ 不微分同胚？
每一个光滑嵌入的 $3$ 维球面 $S^3 \subset S^4$ 是否都与标准赤道光滑同痕（ $4$ 维光滑舍恩弗利斯问题）？

参考文献

Herman Gluck (1962). The embedding of two-spheres in the four-sphere · DOI:10.1090/S0002-9947-1962-0146807-0
Michael H. Freedman (1982). The topology of four-dimensional manifolds · DOI:10.2307/429103
Robert E. Gompf, András I. Stipsicz (1999). 4-Manifolds and Kirby Calculus
Michael Freedman, Robert Gompf, Scott Morrison, Kevin Walker (2010). Man and machine thinking about the smooth 4-dimensional Poincaré conjecture · DOI:10.4171/QT/1 · arXiv:0906.5177v2