Bài toán mở, Tô pô, nêu năm 1961

Giả thuyết Poincaré trơn bốn chiều

Còn mở

Có phải mọi đa tạp đóng trơn $4$ chiều $M$ tương đương đồng luân với mặt cầu $4$ chiều $S^4$ (tương đương, theo định lý Freedman, đồng phôi với $S^4$ ) đều nhất thiết vi phôi với $S^4$ mang cấu trúc trơn chuẩn tắc hay không?

Hiện trạng nghiên cứu tính đến năm 2026

Tính đến năm 2026, giả thuyết Poincaré trơn bốn chiều vẫn hoàn toàn để ngỏ, và giới chuyên gia vẫn chia rẽ về việc liệu một $S^4$ kỳ dị có tồn tại hay không. Về phía chứng minh chuẩn tắc, phép tính Kirby đã chỉ ra rằng nhiều lớp phản ví dụ tiềm năng lớn — bao gồm các mặt cầu Cappell–Shaneson cùng phép xoắn Gluck trên nút $2$ chiều dạng dải băng (ribbon) và nút quay (spun) — thực chất đều là hình cầu chuẩn tắc. Về phía tìm bất biến cản trở, các bất biến lý thuyết trường chuẩn và đồng điều Floer (Donaldson, Seiberg–Witten, Heegaard Floer) đều triệt tiêu hoặc trở nên tầm thường trên các mặt cầu đồng luân $4$ chiều, trong khi đồng điều Khovanov và bất biến $s$ của Rasmussen (được Freedman, Gompf, Morrison và Walker đưa vào bối cảnh này năm 2010) vẫn là công cụ ứng viên hàng đầu để phát hiện một $S^4$ kỳ dị.

Kết quả tốt nhất đã biết

Mọi đa tạp đóng trơn $4$ chiều tương đương đồng luân với $S^4$ đều đồng phôi tô pô với $S^4$ (Freedman, 1982) và trở nên vi phôi với $S^4 \# k(S^2 \times S^2)$ sau khi lấy tổng liên thông với hữu hạn bản sao của $S^2 \times S^2$ (Wall, 1964).
Các phép xoắn Gluck dọc theo mọi nút $2$ chiều dạng dải băng, nút quay và nút quay xoắn trong $S^4$ , cũng như các họ Cappell–Shaneson đã biết, đều đã được chứng minh là vi phôi với $S^4$ chuẩn tắc (Gluck 1962, Gordon 1976, Akbulut 2010, Gompf 2010).

Công cụ và chỗ dừng

Công cụ	Đạt được	Chỗ dừng
Lý thuyết trường chuẩn và đồng điều Floer (Donaldson, Seiberg–Witten, Ozsváth–Szabó)	Phát hiện vô hạn cấu trúc trơn kỳ dị trên các đa tạp đóng $4$ chiều có $b_2^+ > 0$ và vô số không đếm được cấu trúc $\mathbb{R}^4$ kỳ dị	Trên một mặt cầu đồng luân $4$ chiều, nhóm đồng điều thứ hai $H_2(M;\mathbb{Z}) = 0$ là tầm thường, khiến các bất biến Seiberg–Witten và Donaldson đồng nhất bằng không
Môđun lasagne skein Khovanov và bất biến $s$ của Rasmussen (Freedman–Gompf–Morrison–Walker, Manolescu–Neithalath)	Xây dựng các bất biến đa tạp trơn $4$ chiều và chặn giống lát (slice genus) trực tiếp từ sơ đồ liên kết tổ hợp mà không đòi hỏi $b_2^+ > 0$ , phân biệt được các cấu trúc trơn kỳ dị trên đa tạp compact $4$ chiều có biên	Manolescu và Marengon (2020) đã chứng minh rằng chiến lược ban đầu của Freedman–Gompf–Morrison–Walker nhằm bác bỏ giả thuyết bằng riêng bất biến $s$ của Rasmussen không thể thành công nếu thiếu thông tin 4 chiều bổ sung

Câu hỏi còn mở

Có tồn tại một mặt cầu $2$ chiều nhúng trơn $K \subset S^4$ mà kết quả xoắn Gluck $\Sigma_K$ của nó không vi phôi với $S^4$ hay không?
Có phải mọi mặt cầu $3$ chiều nhúng trơn $S^3 \subset S^4$ đều đồng luân trơn với xích đạo chuẩn tắc (bài toán Schoenflies trơn $4$ chiều) hay không?

Tài liệu tham khảo

Herman Gluck (1962). The embedding of two-spheres in the four-sphere · DOI:10.1090/S0002-9947-1962-0146807-0
Michael H. Freedman (1982). The topology of four-dimensional manifolds · DOI:10.2307/429103
Robert E. Gompf, András I. Stipsicz (1999). 4-Manifolds and Kirby Calculus
Michael Freedman, Robert Gompf, Scott Morrison, Kevin Walker (2010). Man and machine thinking about the smooth 4-dimensional Poincaré conjecture · DOI:10.4171/QT/1 · arXiv:0906.5177v2