Math Labs

Bài toán mở, Số học và Lý thuyết số, Hình học, nêu năm 1963

Giả thuyết Tate

Còn mở

Cho XX là một đa tạp xạ ảnh trơn trên trường kk hữu hạn sinh trên trường nguyên tố của nó, và cố định một số nguyên tố ℓ≠char⁡(k)\ell \ne \operatorname{char}(k). Ánh xạ lớp chu trình ⨁r(CH⁡r(X)⊗Qℓ)→⨁rHet2r(Xkˉ,Qℓ(r))Gal⁡(kˉ/k)\bigoplus_{r} \left(\operatorname{CH}^r(X) \otimes \mathbb{Q}_\ell\right) \to \bigoplus_r H^{2r}_{\mathrm{et}}(X_{\bar{k}}, \mathbb{Q}_\ell(r))^{\operatorname{Gal}(\bar{k}/k)} từ các chu trình đại số với hệ số Qℓ\mathbb{Q}_\ell tới các lớp đối đồng điều ℓ\ell-adic bất biến Galois có toàn ánh hay không?

Hiện trạng nghiên cứu tính đến năm 2026

Tính đến năm 2026, giả thuyết Tate đã được chứng minh cho ước trên đa tạp abel trên trường hữu hạn (Tate 1966) và trường số (Faltings 1983), cũng như ước trên mặt K3 trên trường hữu hạn đặc số p≠2p \ne 2 (Nygaard–Ogus, Madapusi Pera, Charles, Maulik 2012–2014) và trong đặc số 0 (André 1996, Tankeev). Nó vẫn còn mở cho chu trình đối chiều cao hơn trên đa tạp abel tổng quát và cho hầu hết đa tạp xạ ảnh trơn với chiều lớn hơn 2.

Kết quả tốt nhất đã biết

  • Đã chứng minh được cho ước trên đa tạp abel trên trường hữu hạn (Tate 1966) và trên trường số (Faltings 1983, qua các định lý hữu hạn nằm sau giả thuyết Mordell).
  • Đã chứng minh được cho ước trên mặt K3 trên trường hữu hạn đặc số lẻ (Nygaard, Ogus, Charles, Madapusi Pera, Maulik 2012–2014) và trên trường số cùng C\mathbb{C} (André 1996, dùng tương ứng Kuga–Satake).

Công cụ và chỗ dừng

Công cụĐạt đượcChỗ dừng
Định lý hữu hạn cho lớp đẳng giống và độ cao FaltingsChứng minh giả thuyết Tate cho đa tạp abel trên trường hữu hạn sinh bằng cách chặn độ cao của các đa tạp abel đẳng giống trong một lớp đẳng giống cố địnhPhụ thuộc vào cấu trúc nhóm và lý thuyết không gian mô-đun đặc thù của đa tạp abel, chưa có tương tự nào được biết cho chu trình đối chiều cao hơn trên đa tạp tổng quát
Tương ứng Kuga–Satake và các định lý Torelli tinh thểChuyển giả thuyết Tate cho mặt K3 về trường hợp đã biết đối với đa tạp abel bằng cách nhúng mạng K3 vào đối đồng điều của một đa tạp abel phụ trợChỉ đặc thù cho cấu trúc Hodge trọng số 2 hạng 22 của mặt K3; chưa có xây dựng đa tạp abel phụ trợ tương tự nào được biết cho đối đồng điều trọng số cao hơn tổng quát

Câu hỏi còn mở

  • Giả thuyết Tate có đúng cho ước trên mặt xạ ảnh trơn tùy ý trên trường hữu hạn, ngoài mặt abel và mặt K3, hay không?
  • Giả thuyết Tate có đúng cho các chu trình đại số đối chiều cao hơn trên đa tạp abel chiều ≥4\ge 4 hay không?

Tài liệu tham khảo

  1. John Tate (1965). Algebraic cycles and poles of zeta functions
  2. John Tate (1966). Endomorphisms of abelian varieties over finite fields · DOI:10.1007/BF01404549
  3. Gerd Faltings (1983). Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern · DOI:10.1007/BF01388432
  4. Keerthi Madapusi Pera (2015). The Tate conjecture for K3 surfaces in odd characteristic · DOI:10.1007/s00222-014-0557-5