Phép hoàn thiện bình phương của al-Khwarizmi

Vẽ một hình vuông cạnh $x$; diện tích của nó là $x^2$, số hạng đầu của $x^2+bx=c$. Gắn vào hai cạnh liền kề của hình vuông này hai hình chữ nhật mỏng, mỗi cái rộng $b/2$ và dài $x$, sao cho tổng diện tích của chúng là $2\cdot\tfrac b2\cdot x=bx$, số hạng thứ hai. Hình chữ L thu được (gọi là "gnomon") có diện tích $x^2+bx=c$.

Hình gnomon này chính là một hình vuông lớn cạnh $x+b/2$ nhưng thiếu một góc là hình vuông nhỏ $\tfrac b2\times\tfrac b2$. Để thấy điều này, chú ý rằng hai hình chữ nhật cộng với hình vuông ban đầu để lại đúng một khoảng trống $(b/2)\times(b/2)$ ở góc ngoài nơi chúng gặp nhau. Lấp đầy khoảng trống đó: toàn bộ hình — gnomon cộng hình vuông góc — nay là một hình vuông thật sự cạnh $x+b/2$, có diện tích do đó bằng $c+(b/2)^2$ (diện tích gnomon $c$ cộng diện tích hình vuông góc $(b/2)^2$, cộng đúng một lần).

Vậy $(x+\tfrac b2)^2=c+\left(\tfrac b2\right)^2$. Lấy căn bậc hai dương hai vế (độ dài cạnh dương) được $x+\dfrac b2=\sqrt{c+\left(\dfrac b2\right)^2}$, và tách $x$ ra cho $x=\sqrt{c+\left(\dfrac b2\right)^2}-\dfrac b2$.

Kiểm tra đại số: khai triển $\left(\sqrt{c+(b/2)^2}-b/2\right)^2+b\left(\sqrt{c+(b/2)^2}-b/2\right)$ từng số hạng, sau khi các số hạng chéo $\pm b\sqrt{c+(b/2)^2}\,b/2$ triệt tiêu nhau, rút gọn đúng thành $c$ — xác nhận công thức độc lập với hình vẽ. Về số: với $x^2+10x=39$ (nên $b=10,c=39$): $x=\sqrt{39+25}-5=\sqrt{64}-5=8-5=3$, và quả thật $3^2+10\cdot3=9+30=39$.