Lớp 10

Toán học Ấn Độ, Hồi giáo, Trung Hoa

Từ công thức tứ giác nội tiếp của Brahmagupta $S=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$ và phương trình Pell $x^2-Ny^2=1$ của ông, qua đại số của al-Khwarizmi và cách giải phương trình bậc ba bằng conic của Omar Khayyam, tới phép nhân đôi đa giác tính $\pi$ của Lưu Huy và định lý phần dư Trung Hoa.

Trực giácBa nền văn minh, một dòng chảy ý tưởng

Khoảng từ thế kỷ 3 đến thế kỷ 13, trong khi châu Âu để lại tương đối ít tài liệu toán học viết tay, ba nền văn minh đã đẩy toán học đi xa bằng những phương pháp rất cụ thể, trực quan: các nhà toán học kiêm thiên văn học Ấn Độ như Brahmagupta tìm ra công thức chính xác cho tứ giác nội tiếp và nghiệm nguyên của $x^2-Ny^2=1$; các học giả thế giới Hồi giáo như al-Khwarizmi và Omar Khayyam biến các mẹo rời rạc thành một môn đại số có hệ thống, giải phương trình bằng cách cắt ghép hình vuông thật sự, hoặc bằng cách cho hai đường cong cắt nhau; còn các nhà toán học Trung Hoa như Lưu Huy và tác giả sách Tôn Tử toán kinh đã tinh chỉnh $\pi$ bằng cách nhân đôi đa giác liên tục và giải các bài toán lịch bằng điều ngày nay ta gọi là định lý phần dư Trung Hoa.

Phổ thôngCông thức tứ giác nội tiếp của Brahmagupta

Định lý của Brahmagupta (Brahmasphutasiddhanta, năm 628) khẳng định diện tích của tứ giác nội tiếp như vậy chỉ phụ thuộc vào bốn cạnh, hệt như công thức Heron cho tam giác: $S=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$.

Công thức này từ đâu ra? Kẻ đường chéo $AC$ chia tứ giác thành hai tam giác $ABC$ (cạnh $a,b$) và $ACD$ (cạnh $c,d$), với hai góc $B$ và $D$ đối nhau. Vì hai góc đối của tứ giác nội tiếp bù nhau nên $B+D=180^\circ$, do đó $\cos B=-\cos D$. Định lý côsin trong mỗi tam giác cho $AC^2=a^2+b^2-2ab\cos B$ và $AC^2=c^2+d^2-2cd\cos D$; thay $\cos D=-\cos B$ vào biểu thức thứ hai rồi cho hai biểu thức của $AC^2$ bằng nhau, ta khử được $\cos B$ thông qua diện tích hai tam giác ($\tfrac12 ab\sin B$ và $\tfrac12 cd\sin D$, với $\sin B=\sin D$); sau khi biến đổi đại số (hoàn thiện bình phương và phân tích nhân tử dùng $s=\tfrac{a+b+c+d}2$), bốn cạnh riêng lẻ gộp lại thành đúng tích đối xứng ở trên.

Đại họcPhương trình Pell và phương pháp Chakravala

Trong cùng chuyên luận năm 628, Brahmagupta nghiên cứu điều ngày nay gọi là phương trình Pell, $x^2-Ny^2=1$, với $N$ là số nguyên dương cố định không chính phương: tìm nghiệm nguyên $x,y$ thỏa mãn. Ông phát hiện đẳng thức bhavana (phép hợp thành), cho phép ghép hai nghiệm thành một nghiệm mới; nhiều thế kỷ sau Bhaskara II biến điều này thành thuật toán chakravala (vòng tròn): xuất phát từ một nghiệm thô của $x^2-Ny^2=k$ với $k$ nhỏ nào đó, rồi lặp lại việc hợp thành nó với một nghiệm tầm thường chọn phù hợp để thu nhỏ dần $|k|$ cho tới khi $k=\pm1$, khi đó ta có ngay nghiệm với $k=1$ hoặc chỉ cần thêm một bước hợp thành nữa.

Gần năm thế kỷ trước đó, Omar Khayyam giải quyết một bài toán khác: giải phương trình bậc ba, việc không thể làm chỉ bằng thước và compa. Trong Luận về chứng minh các bài toán đại số (khoảng năm 1070), ông chỉ ra rằng mọi phương trình bậc ba đều có thể giải bằng cách cho hai đường conic cắt nhau.

Cụ thể, xét phương trình bậc ba $x^3+a^2x=a^2b$ với $a,b>0$. Cho parabol $x^2=ay$ cắt đường tròn $y^2=x(b-x)$ (nửa đường tròn đường kính $b$ nằm trên tia dương trục $x$, đi qua gốc tọa độ). Thay $y=x^2/a$ từ parabol vào phương trình đường tròn ta được $\left(x^2/a\right)^2=x(b-x)$, tức $x^4/a^2=bx-x^2$; chia cho $x\neq0$ rồi nhân với $a^2$ ta thu được đúng $x^3+a^2x=a^2b$. Vậy tọa độ $x$ của giao điểm (khác gốc) chính là nghiệm — một giao điểm đường cong thay thế cho căn thức.

Lấy $a=1,b=2$: phương trình bậc ba $x^3+x=2$, parabol $x^2=y$, và đường tròn $y^2=x(2-x)$. Chúng gặp nhau (ngoài gốc tọa độ) tại $(1,1)$: quả thật $y^2=1$ và $x(2-x)=1\cdot1=1$ khớp nhau, còn $1^3+1=2$ kiểm tra trực tiếp phương trình bậc ba. Cách dựng của Khayyam xử lý tốt cả những phương trình bậc ba có nghiệm vô tỉ — hai đường cong vẫn cắt nhau, dù không ra một con số đẹp.

Đại họcThuật toán nhân đôi đa giác tính $\pi$ của Lưu Huy

Khoảng năm 263, khi chú giải bộ sách kinh điển Cửu chương toán thuật, Lưu Huy nội tiếp một lục giác đều trong đường tròn bán kính $r$ rồi liên tục nhân đôi số cạnh. Nếu $l_n$ là độ dài cạnh của $n$-giác đều nội tiếp, thì trung đoạn (khoảng cách từ tâm tới trung điểm một cạnh) bằng $\sqrt{r^2-(l_n/2)^2}$ theo định lý Pythagore, và độ vòng cung — khoảng cách từ trung điểm đó tới đường tròn — là $r-\sqrt{r^2-(l_n/2)^2}$. Nối một đỉnh cũ với đỉnh mới nằm trên cung phía trên khoảng đó tạo thành một tam giác vuông, nên cạnh sau khi nhân đôi tuân theo công thức truy hồi $l_{2n}=\sqrt{\left(\dfrac{l_n}{2}\right)^2+\left(r-\sqrt{r^2-\left(\dfrac{l_n}{2}\right)^2}\right)^2}$. Vì chu vi $n\,l_n$ của $n$-giác tiến gần tới chu vi đường tròn $2\pi r$ khi $n$ tăng, nên $\pi\approx\dfrac{n\,l_n}{2r}$ cho ước lượng ngày càng tốt hơn.

Xuất phát từ lục giác ($l_6=r$, vì cạnh lục giác đều bằng bán kính) rồi nhân đôi bốn lần thành 96-giác, Lưu Huy đạt $\pi\approx3.14$; về sau, nhân đôi tiếp tới tận 3072-giác, ông thu được giá trị nổi tiếng $3.1416$, chính xác tới bốn chữ số thập phân — mười ba thế kỷ trước khi có máy tính bỏ túi.

Đại họcĐịnh lý phần dư Trung Hoa

Đại họcỨng dụng thực tiễn và Ví dụ minh họa

Đây không phải chuyện xưa cũ trong viện bảo tàng. Bài toán của Tôn Tử được đặt ra để đồng bộ hóa lịch: các nhà thiên văn Trung Hoa cổ đại theo dõi nhiều chu kỳ cùng lúc (chu kỳ can chi 60 ngày, chu kỳ các hành tinh, tháng âm lịch), và định lý phần dư cho phép họ xác định một ngày chỉ từ vài số dư thay vì đếm từng ngày — đúng là bài toán lịch và hàng hải mà nó sinh ra để giải quyết. Cùng ý tưởng đó ngày nay vận hành mật mã học hiện đại: giải mã RSA kết hợp một modulus lớn $n=pq$ với định lý phần dư Trung Hoa (tối ưu "CRT-RSA") để thực hiện phép lũy thừa modulo riêng theo $p$ và theo $q$ — mỗi cái chỉ dài bằng khoảng nửa số bit — rồi ghép lại, nhanh hơn khoảng bốn lần so với làm trực tiếp theo modulo $n$.