Bất đẳng thức AM–GM (hai số)

Bắt đầu từ một sự thật luôn đúng: bình phương của một số thực không bao giờ âm. Áp dụng điều này cho $\sqrt{a}-\sqrt{b}$, là một số thực vì $a,b\ge 0$: $(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 \ge 0$.

Khai triển bình phương bằng $(u-v)^2=u^2-2uv+v^2$ với $u=\sqrt a$, $v=\sqrt b$: ta được $a - 2\sqrt{ab} + b \ge 0$, tức $a - 2\sqrt{ab} + b \ge 0$.

Biến đổi bằng cách cộng $2\sqrt{ab}$ vào hai vế rồi chia cả hai vế cho $2$ (số dương nên không đổi chiều): $\dfrac{a+b}{2} - \sqrt{ab} \ge 0$, chính là $\dfrac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$.

Dấu bằng xảy ra trong suốt quá trình chỉ khi bước đầu tiên là dấu bằng, tức $(\sqrt a-\sqrt b)^2=0$, xảy ra chính xác khi $\sqrt a=\sqrt b$, tức $a=b$.