Bất đẳng thức

Trung bình cộng $\frac{a+b}{2}$ đối xử nhẹ nhàng với các số "trải rộng", còn trung bình nhân $\sqrt{ab}$ thì phạt sự trải rộng đó: nhân hai số rất khác nhau cho ra một "cỡ điển hình" nhỏ hơn so với cộng rồi chia đôi.

Bắt đầu từ một sự thật luôn đúng: bình phương của một số thực không bao giờ âm. Áp dụng điều này cho $\sqrt{a}-\sqrt{b}$, là một số thực vì $a,b\ge 0$: $(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 \ge 0$.

Khai triển bình phương bằng $(u-v)^2=u^2-2uv+v^2$ với $u=\sqrt a$, $v=\sqrt b$: ta được $a - 2\sqrt{ab} + b \ge 0$, tức $a - 2\sqrt{ab} + b \ge 0$.

Biến đổi bằng cách cộng $2\sqrt{ab}$ vào hai vế rồi chia cả hai vế cho $2$ (số dương nên không đổi chiều): $\dfrac{a+b}{2} - \sqrt{ab} \ge 0$, chính là $\dfrac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$.

Dấu bằng xảy ra trong suốt quá trình chỉ khi bước đầu tiên là dấu bằng, tức $(\sqrt a-\sqrt b)^2=0$, xảy ra chính xác khi $\sqrt a=\sqrt b$, tức $a=b$.

Giá trị tuyệt đối đo khoảng cách tới 0; cộng hai số trái dấu gây triệt tiêu, nên khoảng cách của tổng chỉ có thể nhỏ hơn hoặc bằng tổng các khoảng cách riêng.

Mọi số thực $x$ thỏa $-|x|\le x\le |x|$ theo định nghĩa giá trị tuyệt đối. Áp dụng cho cả $a$ và $b$: $-|a|\le a\le |a|$ và $-|b|\le b\le |b|$.

Cộng từng vế hai chuỗi bất đẳng thức này (được phép vì phép cộng giữ nguyên chiều): $-(|a|+|b|)\le a+b\le |a|+|b|$.

Mệnh đề $-(M)\le y\le M$ với $M\ge 0$ tương đương chính xác với $|y|\le M$ theo định nghĩa giá trị tuyệt đối; ở đây $y=a+b$ và $M=|a|+|b|$, nên $|a+b|\le |a|+|b|$, chính là $|a+b| \le |a|+|b|$.

Dấu bằng đòi hỏi cả hai chuỗi bất đẳng thức đồng thời là đẳng thức, buộc $a$ và $b$ phải cùng dấu (cùng không âm hoặc cùng không dương), vì chỉ khi đó mới không có sự triệt tiêu giữa $a$ và $b$.