不等式

算术平均 $\frac{a+b}{2}$ 对"分散"的数比较宽容,而几何平均 $\sqrt{ab}$ 则会惩罚分散:两个相差很大的数相乘,得到的"典型大小"比相加再除以二要小。

从一个恒真事实出发:实数的平方永远非负。将其应用于 $\sqrt{a}-\sqrt{b}$(由于 $a,b\ge 0$ 它是实数):$(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 \ge 0$。

用 $(u-v)^2=u^2-2uv+v^2$(取 $u=\sqrt a$、$v=\sqrt b$)展开,得到 $a - 2\sqrt{ab} + b \ge 0$,即 $a - 2\sqrt{ab} + b \ge 0$。

两边加上 $2\sqrt{ab}$,再两边同除以 $2$(正数,方向不变),得到 $\dfrac{a+b}{2} - \sqrt{ab} \ge 0$,这正是 $\dfrac{a+b}{2} \ge \sqrt{ab}$。

等号成立当且仅当第一步为等号,即 $(\sqrt a-\sqrt b)^2=0$,这恰好在 $\sqrt a=\sqrt b$,即 $a=b$ 时成立。

绝对值衡量到零的距离;两个异号数相加会发生抵消,所以和的距离只会小于等于各自距离之和。

根据绝对值的定义,每个实数 $x$ 都满足 $-|x|\le x\le |x|$。将其分别用于 $a$、$b$:$-|a|\le a\le |a|$ 与 $-|b|\le b\le |b|$。

将这两条不等式链逐项相加(加法保持方向,故可行):$-(|a|+|b|)\le a+b\le |a|+|b|$。

对 $M\ge 0$,命题 $-(M)\le y\le M$ 依绝对值定义恰好等价于 $|y|\le M$;这里 $y=a+b$、$M=|a|+|b|$,于是 $|a+b|\le |a|+|b|$,即 $|a+b| \le |a|+|b|$。

等号成立要求两条链同时取等号,这迫使 $a$、$b$ 同号(同为非负或同为非正),因为只有此时 $a$ 与 $b$ 之间才不发生抵消。