Mọi nguyên hàm đều có dạng $F(x)+C$

Đặt $H(x) = G(x) - F(x)$ với $x\in K$. Vì $F$ và $G$ đều là nguyên hàm của $f$, nên $H'(x) = G'(x)-F'(x) = f(x)-f(x)=0$ với mọi $x\in K$: $H$ khả vi trên $K$ với đạo hàm đồng nhất bằng không.

Lấy hai điểm bất kỳ $x_1 < x_2$ thuộc $K$ (có thể làm vậy vì $K$ là một khoảng, nên toàn bộ đoạn $[x_1,x_2]$ nằm trong $K$). $H$ khả vi, do đó liên tục, trên $[x_1,x_2]$, nên Định lý giá trị trung bình (Lagrange) áp dụng được: tồn tại $\xi\in(x_1,x_2)$ sao cho $H(x_2)-H(x_1) = H'(\xi)(x_2-x_1) = 0$, dùng $H'(\xi)=0$.

Do đó $H(x_2)=H(x_1)$ với mọi cặp $x_1<x_2$ thuộc $K$: $H$ nhận cùng một giá trị tại mọi điểm trên $K$, gọi giá trị đó là $H(x)=C$ với mọi $x\in K$. Thay ngược lại, $G(x)-F(x)=C$, tức $G(x) = F(x) + C$, đúng như khẳng định.