Nguyên hàm

Nếu hai chiếc xe chạy trên cùng một con đường với tốc độ giống hệt nhau tại mọi thời điểm, chúng không thể trôi xa nhau hay xích lại gần nhau — khoảng cách giữa chúng giữ nguyên mãi mãi. Ở đây $F$ và $G$ là vị trí của hai chiếc xe còn $f$ là tốc độ chung của chúng; định lý nói rằng "khoảng cách" $G-F$ phải là một hằng số. Điều mấu chốt là $K$ cần là một khoảng liền, duy nhất: trên hai khoảng tách rời, khoảng cách có thể nhảy sang một hằng số khác ở mỗi mảnh, vì bạn không bao giờ phải thực sự di chuyển từ mảnh này sang mảnh kia.

Đặt $H(x) = G(x) - F(x)$ với $x\in K$. Vì $F$ và $G$ đều là nguyên hàm của $f$, nên $H'(x) = G'(x)-F'(x) = f(x)-f(x)=0$ với mọi $x\in K$: $H$ khả vi trên $K$ với đạo hàm đồng nhất bằng không.

Lấy hai điểm bất kỳ $x_1 < x_2$ thuộc $K$ (có thể làm vậy vì $K$ là một khoảng, nên toàn bộ đoạn $[x_1,x_2]$ nằm trong $K$). $H$ khả vi, do đó liên tục, trên $[x_1,x_2]$, nên Định lý giá trị trung bình (Lagrange) áp dụng được: tồn tại $\xi\in(x_1,x_2)$ sao cho $H(x_2)-H(x_1) = H'(\xi)(x_2-x_1) = 0$, dùng $H'(\xi)=0$.

Do đó $H(x_2)=H(x_1)$ với mọi cặp $x_1<x_2$ thuộc $K$: $H$ nhận cùng một giá trị tại mọi điểm trên $K$, gọi giá trị đó là $H(x)=C$ với mọi $x\in K$. Thay ngược lại, $G(x)-F(x)=C$, tức $G(x) = F(x) + C$, đúng như khẳng định.

Đổi biến số chẳng qua là quy tắc dây chuyền đọc ngược lại: lấy đạo hàm của một hàm hợp $F(g(x))$ tạo ra đúng khuôn mẫu "đạo hàm hàm ngoài nhân đạo hàm hàm trong," $f(g(x))g'(x)$. Vì vậy bất cứ khi nào hàm dưới dấu tích phân đã có đúng dạng này, việc nhận ra $u=g(x)$ biến một tích phân trông khó theo $x$ thành một tích phân dễ theo $u$.

Đặt $\Phi(x) = F(g(x))$. Theo quy tắc dây chuyền, vì $F'=f$, nên $\Phi'(x) = F'(g(x))\cdot g'(x) = f(g(x))g'(x)$.

Điều này nói chính xác rằng $\Phi$ khả vi với đạo hàm $f(g(x))g'(x)$ tại mọi $x$ thuộc tập xác định — tức $\Phi$, theo định nghĩa, là một nguyên hàm của $f(g(x))g'(x)$.

Theo định lý duy nhất ở trên, mọi nguyên hàm của $f(g(x))g'(x)$ chỉ khác $\Phi$ một hằng số, nên $\int f(g(x))g'(x)\,dx = \Phi(x) + C = F(g(x)) + C$, đúng như khẳng định. Trong thực hành, ta viết $u=g(x)$, $du=g'(x)\,dx$, đưa vế trái về $\int f(u)\,du = F(u)+C$ trước khi thay ngược lại $u=g(x)$ ở bước cuối.

Nguyên hàm từng phần đảo ngược quy tắc đạo hàm của tích: nó không loại bỏ dấu tích phân, nhưng chuyển đạo hàm từ một thừa số ($v$) sang thừa số kia ($u$), đó chính xác là bước đi đúng khi $u$ trở nên đơn giản hơn sau khi lấy đạo hàm (như $u=x$ thành $u'=1$) trong khi $v'$ vẫn dễ lấy nguyên hàm — biến một tích khó như $\int x e^x\,dx$ thành một tích dễ.

Theo quy tắc đạo hàm của tích, $(uv)' = u'v + uv'$. Sắp xếp lại, $uv' = (uv)' - u'v$.

Lấy nguyên hàm (theo $x$, trên $K$) của cả hai vế. Ở vế phải, $(uv)'$ hiển nhiên có nguyên hàm chính là $uv$ (sai khác một hằng số, theo định lý duy nhất), nên $\int uv'\,dx = \int (uv)'\,dx - \int u'v\,dx = uv - \int u'v\,dx$.

Viết $dv = v'(x)\,dx$ và $du=u'(x)\,dx$ biến điều này thành dạng ghi nhớ gọn $\int u\,dv = uv - \int v\,du$. Trong thực hành, một thừa số được chọn là $u$ (để lấy đạo hàm) và phần còn lại là $dv$ (để lấy nguyên hàm), thường ưu tiên lấy đạo hàm thừa số trở nên đơn giản hơn (đa thức, lôgarit) và lấy nguyên hàm thừa số vẫn dễ xử lý ($e^x$, $\sin x$, $\cos x$).