Định lýĐã chứng minh

Bán kính hội tụ qua tiêu chuẩn tỉ số

Phát biểu

Với chuỗi lũy thừa $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-c)^n$ , giả sử $L = \displaystyle\lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|$ tồn tại (là một số hữu hạn hoặc $+\infty$ ). Khi đó bán kính hội tụ là $R = \dfrac{1}{L}$ , với quy ước $R = \infty$ nếu $L=0$ và $R = 0$ nếu $L=\infty$ .

Vì sao đúng?

Tiêu chuẩn tỉ số so sánh các số hạng liên tiếp của chuỗi với một chuỗi hình học: nếu tỉ số các số hạng liên tiếp cuối cùng có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 1, chuỗi ứng xử như một chuỗi hình học hội tụ và cho tổng hữu hạn.

Phác thảo chứng minh

Cố định $x \neq c$ và áp dụng tiêu chuẩn tỉ số cho các số hạng $b_n = a_n(x-c)^n$ của chuỗi số $\sum b_n$ . Ta tính

$\displaystyle \lim_{n\to\infty} \left| \frac{b_{n+1}}{b_n} \right| = \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}(x-c)^{n+1}}{a_n(x-c)^n} \right| = \lim_{n\to\infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \cdot |x-c| = L\,|x-c|$ .

Theo tiêu chuẩn tỉ số cho chuỗi số, $\sum b_n$ hội tụ tuyệt đối khi $L|x-c| < 1$ , tức khi $|x-c| < 1/L$ , và phân kỳ khi $L|x-c| > 1$ , tức khi $|x-c| > 1/L$ . Vậy chuỗi hội tụ tuyệt đối với mọi $x$ thỏa $|x-c| < 1/L$ và phân kỳ với mọi $x$ thỏa $|x-c| > 1/L$ .

Đây chính xác là định nghĩa của bán kính hội tụ: $R$ lớn nhất sao cho chuỗi hội tụ với mọi $|x-c| < R$ . Do đó $R = 1/L$ . Các trường hợp biên $L=0$ (tỉ số luôn tiến về 0 nên chuỗi hội tụ với mọi $x$ , cho $R=\infty$ ) và $L=\infty$ (tỉ số bùng nổ với mọi $x \neq c$ nên chuỗi chỉ hội tụ tại $x=c$ , cho $R=0$ ) suy ra từ cùng lập luận khi lấy giới hạn tương ứng.

Chủ đề chứa định lý này

Chuỗi lũy thừa, chuỗi Taylor

Chứng minh từng bước

Chưa có chứng minh từng bước cho định lý này.