Định lý điểm bất động Banach (định lý ánh xạ co)

Bước 1 — Dãy lặp là dãy Cauchy. Cố định $x_0 \in X$ và đặt $x_n = T^n(x_0)$. Áp dụng liên tiếp tính chất co, $d(x_{n+1},x_n) = d(T(x_n),T(x_{n-1})) \le q\,d(x_n,x_{n-1}) \le \dots \le q^n\,d(x_1,x_0)$. Với $m > n$, bất đẳng thức tam giác nối các bước qua đường $x_n, x_{n+1}, \dots, x_m$: $d(x_m,x_n) \le \sum_{k=n}^{m-1} d(x_{k+1},x_k) \le \sum_{k=n}^{m-1} q^k\,d(x_1,x_0) \le d(x_1,x_0)\sum_{k=n}^{\infty} q^k = d(x_1,x_0)\,\dfrac{q^n}{1-q}$, dùng công thức cấp số nhân vì $0 \le q < 1$. Khi $n \to \infty$, $q^n \to 0$, nên chặn đuôi này tiến về 0: $(x_n)$ là dãy Cauchy.

Bước 2 — Tính đầy đủ cho giới hạn, và tính liên tục làm nó thành điểm bất động. Vì $X$ đầy đủ, dãy Cauchy $(x_n)$ hội tụ về một điểm $x^* \in X$ nào đó. Bất đẳng thức co $d(T(x),T(y)) \le q\,d(x,y)$ cho thấy $T$ liên tục (Lipschitz), nên $T(x^*) = T(\lim_n x_n) = \lim_n T(x_n) = \lim_n x_{n+1} = x^*$. Vậy $x^*$ là một điểm bất động.

Bước 3 — Tính duy nhất. Giả sử $x^*$ và $y^*$ đều là điểm bất động. Khi đó $d(x^*,y^*) = d(T(x^*),T(y^*)) \le q\,d(x^*,y^*)$, nên $(1-q)\,d(x^*,y^*) \le 0$. Vì $1-q>0$, điều này buộc $d(x^*,y^*)=0$, tức $x^*=y^*$.

Bước 4 — Chặn sai số. Cho $m \to \infty$ trong ước lượng ở Bước 1, $d(x_m,x_n) \le \dfrac{q^n}{1-q}\,d(x_1,x_0)$, và dùng tính liên tục của $d$, ta được đúng $d(x_n,x^*) \le \dfrac{q^n}{1-q}\,d(x_1,x_0)$: khoảng cách tới điểm bất động thực sự sau $n$ bước co lại theo cấp số nhân, và chặn này tính được trước khi chạy bất kỳ vòng lặp nào.