Tô pô

Không gian metric

Không gian metric trang bị cho một tập hợp một hàm khoảng cách thỏa ba tiên đề; ánh xạ co trên không gian metric đầy đủ luôn có đúng một điểm bất động (định lý Banach), động cơ đứng sau PageRank, các bộ giải lặp và nén ảnh fractal.

Trực giácĐo khoảng cách mà không cần thước

GPS dùng khoảng cách đường thẳng, tài xế taxi dùng khoảng cách theo lưới phố, còn trình kiểm tra chính tả dùng "khoảng cách chỉnh sửa" giữa hai từ. Cả ba đều là khái niệm khoảng cách hợp lệ vì chúng tuân theo cùng ba quy tắc thường thức: khoảng cách không bao giờ âm và bằng 0 chỉ khi hai điểm trùng nhau, khoảng cách từ $A$ đến $B$ bằng khoảng cách từ $B$ đến $A$ , và đi vòng qua điểm $C$ không bao giờ ngắn hơn đi thẳng từ $A$ đến $B$ . Một không gian metric chính là một tập hợp trang bị một hàm khoảng cách tuân theo ba quy tắc này.

Ánh xạ

T(x) = 0.5x + 1

trên

\mathbb{R}

(với

d(x,y)=|x-y|

) là một ánh xạ co với tỉ số

q=0.5

: nó luôn giảm một nửa khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ. Chỉnh các thanh trượt và quan sát mọi điểm xuất phát đều lặp dần về cùng một điểm bất động

x^* = 2

Đại họcBa tiên đề

Định nghĩa: Không gian metric

Một metric trên tập $X$ là hàm $d: X \times X \to \mathbb{R}$ thỏa mãn, với mọi $x,y,z \in X$ : (M1) tính dương $d(x,y) \ge 0,\ d(x,y)=0 \iff x=y$ ; (M2) tính đối xứng $d(x,y) = d(y,x)$ ; (M3) bất đẳng thức tam giác $d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z)$ . Cặp $(X,d)$ được gọi là một không gian metric.

d(x,y) \ge 0,\quad d(x,y)=0 \iff x=y \qquad d(x,y)=d(y,x) \qquad d(x,z) \le d(x,y)+d(y,z)

Hai họ ví dụ quan trọng nhất. Trên $\mathbb{R}^n$ , các **metric $\ell_p$ ** là $d_p(x,y) = \left(\sum_{i=1}^n |x_i - y_i|^p\right)^{1/p}$ với $p \ge 1$ (nên $p=2$ cho khoảng cách Euclid thông thường, $p=1$ cho khoảng cách "taxi", và $p\to\infty$ cho hiệu tọa độ lớn nhất). Trên không gian $C([a,b])$ các hàm liên tục, metric sup là $d_\infty(f,g) = \sup_{t \in [a,b]} |f(t) - g(t)|$ : hai hàm gần nhau nếu đồ thị của chúng không tách xa nhau quá một khoảng nhỏ tại bất kỳ điểm nào trên $[a,b]$ .

d_p(x,y) = \left(\sum_{i=1}^n |x_i - y_i|^p\right)^{1/p} \qquad d_\infty(f,g) = \sup_{t \in [a,b]} |f(t) - g(t)|

So sánh các metric trên $\mathbb{R}^n$
Metric	Công thức	Hình dạng hình cầu đơn vị	Ứng dụng tiêu biểu
$\ell_1$ (taxi)	$\sum \|x_i-y_i\|$	hình thoi	khôi phục thưa, ô phố
$\ell_2$ (Euclid)	$\sqrt{\sum (x_i-y_i)^2}$	hình tròn	khoảng cách vật lý, PCA
$\ell_\infty$ (Chebyshev)	$\max_i \|x_i-y_i\|$	hình vuông	chặn sai số xấu nhất

Đại họcHình cầu, tính đầy đủ và ánh xạ co

Hình cầu mở $B(x_0, r) = \{x \in X : d(x, x_0) < r\}$ là tập các điểm cách tâm không quá $r$ . Một dãy $(x_n)$ là dãy Cauchy nếu $\forall \varepsilon > 0\ \exists N\ \forall m,n > N:\ d(x_m,x_n) < \varepsilon$ : các số hạng của nó dần dần đến gần nhau tùy ý (chưa chắc đã đến gần một điểm giới hạn cố định nào). Một không gian metric là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy đều hội tụ về một điểm của $X$ . $\mathbb{R}^n$ với metric $\ell_p$ bất kỳ là đầy đủ; $\mathbb{Q}$ với $d(x,y)=|x-y|$ thì không, vì thiếu điểm $\sqrt{2}$ .

Đại họcCác định lý

Định lý: Bất đẳng thức tam giác ngược

Với mọi $x,y,z$ trong một không gian metric, $|d(x,z) - d(y,z)| \le d(x,y)$ .

Vì sao đúng?

Nó cho thấy chính hàm khoảng cách là hàm Lipschitz liên tục (với hằng số 1) theo mỗi biến, điều cho phép lấy giới hạn của khoảng cách một cách an toàn.

Chứng minh

Bước 1 — Áp dụng bất đẳng thức tam giác hai lần. Theo (M3), $d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z)$ , sắp xếp lại thành $d(x,z) - d(y,z) \le d(x,y)$ . Đổi vai trò $x$ và $y$ trong cùng tiên đề đó cho $d(y,z) \le d(y,x) + d(x,z) = d(x,y) + d(x,z)$ (dùng tính đối xứng $d(y,x)=d(x,y)$ ), sắp xếp lại thành $d(y,z) - d(x,z) \le d(x,y)$ , tức $-(d(x,z)-d(y,z)) \le d(x,y)$ .

Bước 2 — Kết hợp hai chặn. Hai bất đẳng thức trên nói $d(x,z)-d(y,z) \le d(x,y)$ và $-(d(x,z)-d(y,z)) \le d(x,y)$ đồng thời, đây chính xác là khẳng định $|d(x,z)-d(y,z)| \le d(x,y)$ theo định nghĩa giá trị tuyệt đối: một số thực $u$ thỏa $|u| \le c$ khi và chỉ khi cả $u \le c$ và $-u \le c$ đều đúng.

Định lý: Định lý điểm bất động Banach (định lý ánh xạ co)

Cho $(X,d)$ là một không gian metric đầy đủ và $T: X \to X$ là một ánh xạ co: $d(T(x), T(y)) \le q\, d(x,y)$ với hằng số $0 \le q < 1$ cố định và mọi $x,y \in X$ . Khi đó $T$ có đúng một điểm bất động $x^* \in X$ (nghĩa là $T(x^*)=x^*$ ), và bắt đầu từ bất kỳ $x_0 \in X$ , dãy lặp $x_{n+1}=T(x_n)$ hội tụ về $x^*$ với chặn sai số tường minh $d(x_n, x^*) \le \dfrac{q^n}{1-q}\, d(x_1, x_0)$ .

Vì sao đúng?

Nó chuyển các câu hỏi tồn tại và duy nhất (phương trình này có đúng một nghiệm không?) thành một phép tính máy móc, đảm bảo hội tụ, với một chặn tính trước được cho số bước lặp cần thiết để đạt độ chính xác mong muốn.

Chứng minh

Bước 1 — Dãy lặp là dãy Cauchy. Cố định $x_0 \in X$ và đặt $x_n = T^n(x_0)$ . Áp dụng liên tiếp tính chất co, $d(x_{n+1},x_n) = d(T(x_n),T(x_{n-1})) \le q\,d(x_n,x_{n-1}) \le \dots \le q^n\,d(x_1,x_0)$ . Với $m > n$ , bất đẳng thức tam giác nối các bước qua đường $x_n, x_{n+1}, \dots, x_m$ : $d(x_m,x_n) \le \sum_{k=n}^{m-1} d(x_{k+1},x_k) \le \sum_{k=n}^{m-1} q^k\,d(x_1,x_0) \le d(x_1,x_0)\sum_{k=n}^{\infty} q^k = d(x_1,x_0)\,\dfrac{q^n}{1-q}$ , dùng công thức cấp số nhân vì $0 \le q < 1$ . Khi $n \to \infty$ , $q^n \to 0$ , nên chặn đuôi này tiến về 0: $(x_n)$ là dãy Cauchy.

Bước 2 — Tính đầy đủ cho giới hạn, và tính liên tục làm nó thành điểm bất động. Vì $X$ đầy đủ, dãy Cauchy $(x_n)$ hội tụ về một điểm $x^* \in X$ nào đó. Bất đẳng thức co $d(T(x),T(y)) \le q\,d(x,y)$ cho thấy $T$ liên tục (Lipschitz), nên $T(x^*) = T(\lim_n x_n) = \lim_n T(x_n) = \lim_n x_{n+1} = x^*$ . Vậy $x^*$ là một điểm bất động.

Bước 3 — Tính duy nhất. Giả sử $x^*$ và $y^*$ đều là điểm bất động. Khi đó $d(x^*,y^*) = d(T(x^*),T(y^*)) \le q\,d(x^*,y^*)$ , nên $(1-q)\,d(x^*,y^*) \le 0$ . Vì $1-q>0$ , điều này buộc $d(x^*,y^*)=0$ , tức $x^*=y^*$ .

Bước 4 — Chặn sai số. Cho $m \to \infty$ trong ước lượng ở Bước 1, $d(x_m,x_n) \le \dfrac{q^n}{1-q}\,d(x_1,x_0)$ , và dùng tính liên tục của $d$ , ta được đúng $d(x_n,x^*) \le \dfrac{q^n}{1-q}\,d(x_1,x_0)$ : khoảng cách tới điểm bất động thực sự sau $n$ bước co lại theo cấp số nhân, và chặn này tính được trước khi chạy bất kỳ vòng lặp nào.

Đại họcỨng dụng thực tiễn và Ví dụ minh họa

PageRank của Google tính vector riêng trội của ma trận liên kết web bằng cách áp dụng lặp lại nó lên một vector xác suất — phép lặp lũy thừa này là một ánh xạ co theo metric $\ell_1$ trên các phân phối xác suất. Các bộ giải hệ tuyến tính lặp (Jacobi, Gauss–Seidel) viết lại $Ax=b$ thành ánh xạ điểm bất động $x \mapsto Cx+d$ là ánh xạ co theo metric sup khi $A$ chéo trội. Nén ảnh fractal (IFS) biểu diễn một ảnh như điểm bất động duy nhất của một ánh xạ co trên không gian các ảnh trang bị metric sup/Hausdorff, nên giải nén chỉ là lặp ánh xạ đó.

Ví dụ: PageRank như một ánh xạ co trên vector xác suất

Một web nhỏ gồm 2 trang có ma trận liên kết $M = \begin{pmatrix} 0.1 & 0.9 \\ 0.9 & 0.1 \end{pmatrix}$ (mỗi cột phân phối lại thứ hạng với hệ số giảm chấn). Bắt đầu từ $r_0 = (1,0)$ , tính $r_1 = Mr_0$ và $r_2 = Mr_1$ dùng metric $\ell_1$ : $d(x,y)=|x_1-y_1|+|x_2-y_2|$ , và kiểm tra $d(r_1,r_2) \le q\,d(r_0,r_1)$ với $q=0.8$ .

Lời giải

Bước 1 — Tính $r_1$ . $r_1 = M r_0 = (0.1 \cdot 1 + 0.9 \cdot 0,\ 0.9 \cdot 1 + 0.1 \cdot 0) = (0.1, 0.9)$ .

Bước 2 — Tính $r_2$ . $r_2 = M r_1 = (0.1(0.1)+0.9(0.9),\ 0.9(0.1)+0.1(0.9)) = (0.01+0.81,\ 0.09+0.09) = (0.82, 0.18)$ .

Bước 3 — Tính khoảng cách và kiểm tra tỉ số co. $d(r_0,r_1) = |1-0.1|+|0-0.9| = 0.9+0.9=1.8$ . $d(r_1,r_2)=|0.1-0.82|+|0.9-0.18|=0.72+0.72=1.44$ . Quả thực $1.44 = 0.8 \times 1.8$ , khớp đúng $q=0.8$ (tổng hàng/cột của $M$ lệch 0.5 do hệ số giảm chấn cho ra tỉ số này), xác nhận phép lặp co lại và sẽ hội tụ về vector hạng ổn định $(0.5,0.5)$ .

Ví dụ: Cần bao nhiêu bước lặp để đạt độ chính xác nén mong muốn?

Một bộ giải mã nén ảnh fractal áp dụng ánh xạ co $T$ với tỉ số $q=0.6$ theo metric sup trên không gian ảnh, và hai lần lặp đầu thỏa $d(x_1,x_0)=100$ (đơn vị cường độ điểm ảnh). Dùng chặn sai số $d(x_n, x^*) \le \dfrac{q^n}{1-q}\, d(x_1, x_0)$ , tìm $n$ nhỏ nhất đảm bảo $d(x_n,x^*) < 1$ .

Lời giải

Bước 1 — Viết bất phương trình cần giải. Cần $\dfrac{q^n}{1-q}\,d(x_1,x_0) < 1$ , tức $\dfrac{0.6^n}{0.4} \times 100 < 1$ , tức $0.6^n < 0.004$ .

Bước 2 — Lấy logarit. $n \ln(0.6) < \ln(0.004)$ . Vì $\ln(0.6) \approx -0.5108$ âm, chia sẽ đổi chiều bất đẳng thức: $n > \dfrac{\ln(0.004)}{\ln(0.6)} = \dfrac{-5.521}{-0.5108} \approx 10.81$ .

Bước 3 — Làm tròn lên số nguyên nhỏ nhất. $n = 11$ bước lặp đảm bảo $d(x_n,x^*) < 1$ đơn vị cường độ điểm ảnh, và con số này đã biết trước khi chạy bất kỳ bước lặp nào — chính là giá trị thực tiễn của chặn sai số tiên nghiệm trong các bộ giải mã nén ảnh.

Hiện trạng nghiên cứu tính đến năm 2026

Các mô hình cân bằng sâu (DEQ, từ 2019) thay hàng loạt tầng xếp chồng của mạng nơ-ron sâu bằng một tầng duy nhất áp dụng như ánh xạ co, tính đầu ra mạng như điểm bất động $x^* = f_\theta(x^*, u)$ tìm được đúng bằng phép lặp ở trên; lan truyền ngược khi đó dùng định lý hàm ẩn thay vì lưu kích hoạt của mọi tầng, giảm chi phí bộ nhớ. Một hướng nghiên cứu khác đang hoạt động là khoảng cách Gromov–Hausdorff, một metric giữa các không gian metric trọn vẹn (so sánh hình dạng, đám mây điểm, biểu diễn mạng nơ-ron sai khác đẳng cự), then chốt cho nghiên cứu khớp hình dạng và học đa tạp hiện đại.

Tính chất nào KHÔNG thỏa với $d(x,y) = (x-y)^2$ trên $\mathbb{R}$ ?

Dùng metric $\ell_2$ , $d((1,2,2),(4,6,2))$ trong $\mathbb{R}^3$ bằng bao nhiêu?

Một bộ giải lặp có tỉ số co $q=0.9$ thay vì $q=0.1$ cho cùng một bài toán. Điều gì xảy ra?

Cặp điều kiện nào đảm bảo định lý điểm bất động Banach áp dụng được?

Tài liệu tham khảo

Walter Rudin (1976). Principles of Mathematical Analysis
James Munkres (2000). Topology
Shaojie Bai, J. Zico Kolter, Vladlen Koltun (2019). Deep Equilibrium Models · arXiv:1909.01377