Bất biến chẵn lẻ Loyd–Johnson cho trò chơi 15 ô

Bước 1 (trượt ngang). Khi ô trống trượt sang trái hoặc phải trong cùng một hàng, không có ô số nào đổi vị trí trong dãy đọc theo hàng của $15$ ô số, và ô trống vẫn ở hàng $r(s)$. Do đó $\Delta N = 0$ và $\Delta r = 0$, nên $N(s) + r(s)$ không đổi.

Bước 2 (trượt dọc). Khi ô trống trượt lên hoặc xuống, ô số $t$ chuyển vào vị trí cũ của ô trống sẽ dịch chuyển đúng $3$ vị trí trong dãy đọc theo hàng của $15$ ô số. Đi qua mỗi ô trong $3$ ô đó sẽ đảo trạng thái nghịch thế của cặp $(t, u)$, làm $N(s)$ thay đổi $+1$ hoặc $-1$ cho mỗi ô. Tổng thay đổi là $\Delta N \in \{-3, -1, +1, +3\}$, luôn là số lẻ. Đồng thời $\Delta r \in \{-1, +1\}$ cũng lẻ, nên $\Delta(N + r)$ là số chẵn.

Bước 3 (đổi chỗ 14 và 15). Đổi chỗ hai ô $14$ và $15$ khi ô trống giữ nguyên ở hàng $r = 4$ làm $N(s)$ tăng thêm $+1$ (từ $0$ lên $1$) trong khi $\Delta r = 0$. Vì vậy $(N + r) \bmod 2$ khác nhau giữa trạng thái đầu ($1 + 4 \equiv 1 \pmod 2$) và trạng thái đích ($0 + 4 \equiv 0 \pmod 2$), chứng minh không có dãy bước trượt hợp lệ nào đạt tới trạng thái đích.