Tỉ số kép bất biến qua phép biến đổi xạ ảnh

Biểu diễn bốn điểm thẳng hàng bằng các vectơ tọa độ thuần nhất $A, B, C, D \in \mathbb{R}^3$ nằm trong cùng một không gian con 2 chiều, và biểu diễn $\varphi$ bằng một ma trận khả nghịch $3\times 3$ là $M$, sao cho $\varphi$ áp dụng cho điểm có vectơ $P$ cho tọa độ thuần nhất $MP$.

Vì $A, B, C, D$ thẳng hàng, có thể chọn các đại diện sao cho $C = \lambda_1 A + \mu_1 B$ và $D = \lambda_2 A + \mu_2 B$ với các số $\lambda_1, \mu_1, \lambda_2, \mu_2$; tỉ số kép $(A,B;C,D)$ được định nghĩa hoàn toàn theo bốn số này, cụ thể là $\dfrac{\mu_1/\lambda_1}{\mu_2/\lambda_2}$.

Áp dụng ánh xạ tuyến tính $M$ ta được $MC = \lambda_1(MA) + \mu_1(MB)$ và $MD = \lambda_2(MA) + \mu_2(MB)$, vì phép nhân ma trận phân phối trên tổ hợp tuyến tính; do đó chính các số $\lambda_1, \mu_1, \lambda_2, \mu_2$ đó biểu diễn $\varphi(C)$ và $\varphi(D)$ theo $\varphi(A)$ và $\varphi(B)$.

Vì tỉ số kép chỉ phụ thuộc vào các số này và chúng không đổi qua $M$, ta kết luận $(\varphi(A),\varphi(B);\varphi(C),\varphi(D)) = (A,B;C,D)$, đúng là điều bất biến cần chứng minh.