Hình học xạ ảnh

Một phép biến đổi xạ ảnh được biểu diễn bởi một ánh xạ tuyến tính khả nghịch trên tọa độ thuần nhất, và tỉ số kép chỉ được xây dựng từ các hệ số biểu diễn hai trong bốn điểm như tổ hợp tuyến tính của hai điểm còn lại; vì ánh xạ tuyến tính bảo toàn chính xác tổ hợp tuyến tính nên nó không thể làm thay đổi các hệ số đó, do đó tỉ số kép được bảo toàn.

Biểu diễn bốn điểm thẳng hàng bằng các vectơ tọa độ thuần nhất $A, B, C, D \in \mathbb{R}^3$ nằm trong cùng một không gian con 2 chiều, và biểu diễn $\varphi$ bằng một ma trận khả nghịch $3\times 3$ là $M$, sao cho $\varphi$ áp dụng cho điểm có vectơ $P$ cho tọa độ thuần nhất $MP$.

Vì $A, B, C, D$ thẳng hàng, có thể chọn các đại diện sao cho $C = \lambda_1 A + \mu_1 B$ và $D = \lambda_2 A + \mu_2 B$ với các số $\lambda_1, \mu_1, \lambda_2, \mu_2$; tỉ số kép $(A,B;C,D)$ được định nghĩa hoàn toàn theo bốn số này, cụ thể là $\dfrac{\mu_1/\lambda_1}{\mu_2/\lambda_2}$.

Áp dụng ánh xạ tuyến tính $M$ ta được $MC = \lambda_1(MA) + \mu_1(MB)$ và $MD = \lambda_2(MA) + \mu_2(MB)$, vì phép nhân ma trận phân phối trên tổ hợp tuyến tính; do đó chính các số $\lambda_1, \mu_1, \lambda_2, \mu_2$ đó biểu diễn $\varphi(C)$ và $\varphi(D)$ theo $\varphi(A)$ và $\varphi(B)$.

Vì tỉ số kép chỉ phụ thuộc vào các số này và chúng không đổi qua $M$, ta kết luận $(\varphi(A),\varphi(B);\varphi(C),\varphi(D)) = (A,B;C,D)$, đúng là điều bất biến cần chứng minh.

Nếu chỉ làm việc trong mặt phẳng, mệnh đề trông có vẻ tinh vi vì nó pha trộn nhiều đường thẳng khác nhau. Nâng hình ảnh lên không gian ba chiều biến mỗi sự liên thuộc thành giao của hai mặt phẳng, và hai mặt phẳng phân biệt luôn cắt nhau theo một đường thẳng, điều này buộc ba điểm phải nằm trên cùng một đường thẳng.

Coi hai tam giác nằm trong một mặt phẳng $\pi$ bên trong $\mathbb{R}^3$, và dựng, phía trên $\pi$, một cấu hình không gian: một điểm $\widehat{O}$ không thuộc $\pi$, cùng hai tam giác $\widehat{A}\widehat{B}\widehat{C}$ và $\widehat{A'}\widehat{B'}\widehat{C'}$ nằm trong hai mặt phẳng khác nhau trong không gian, bố trí sao cho các đường thẳng $\widehat{A}\widehat{A'}$, $\widehat{B}\widehat{B'}$, $\widehat{C}\widehat{C'}$ đều đi qua $\widehat{O}$, và sao cho phép chiếu hình không gian này trở lại $\pi$ khôi phục đúng hai tam giác ban đầu $ABC$ và $A'B'C'$ phối cảnh từ $O$.

Trong hình không gian này, đường thẳng $\widehat{B}\widehat{C}$ và đường thẳng $\widehat{B'}\widehat{C'}$ đều nằm trong mặt phẳng sinh bởi $\widehat{O}, \widehat{B}, \widehat{C}$ (vì $\widehat{B'}$ và $\widehat{C'}$ nằm trên các đường thẳng qua $\widehat{O}$ và tương ứng $\widehat{B}, \widehat{C}$), nên hai đường thẳng này cắt nhau tại một điểm $\widehat{P}$; tương tự $\widehat{Q}$ và $\widehat{R}$ tồn tại trong không gian như các giao điểm tương tự cho các cạnh $CA$ và $AB$.

Ba điểm $\widehat{P}, \widehat{Q}, \widehat{R}$ đều nằm trong mặt phẳng chứa tam giác $\widehat{A}\widehat{B}\widehat{C}$, vì mỗi điểm được dựng từ một cặp cạnh của nó, và đồng thời nằm trong mặt phẳng chứa $\widehat{A'}\widehat{B'}\widehat{C'}$. Do đó $\widehat{P}, \widehat{Q}, \widehat{R}$ nằm trên đường thẳng giao của hai mặt phẳng này, vì hai mặt phẳng phân biệt trong không gian luôn cắt nhau theo đúng một đường thẳng.

Chiếu cấu hình không gian này trở lại mặt phẳng $\pi$ biến $\widehat{P}, \widehat{Q}, \widehat{R}$ thành $P, Q, R$ và bảo toàn tính thẳng hàng, vì phép chiếu từ một điểm biến mọi đường thẳng thành đường thẳng. Vậy $P, Q, R$ thẳng hàng trong $\pi$, đúng là định lý Desargues.