Bất đẳng thức Cauchy–Schwarz

Bước 1: Lập biểu thức bậc hai phụ. Xét biến thực $t$ và biểu thức $\sum_{i=1}^n (a_i t - b_i)^2$. Vì đây là tổng bình phương các số thực, nó luôn $\ge 0$ với mọi $t$ thực: $\sum(a_i t - b_i)^2 \ge 0$.

**Bước 2: Khai triển thành bậc hai theo $t$.** Khai triển, $\sum (a_i t - b_i)^2 = t^2 \sum a_i^2 - 2t \sum a_i b_i + \sum b_i^2$. Viết $A = \sum a_i^2$, $B = \sum a_i b_i$, $C = \sum b_i^2$, biểu thức trở thành $At^2 - 2Bt + C \ge 0$ với mọi $t$ thực.

Bước 3: Xử lý trường hợp suy biến. Nếu $A = 0$ thì mọi $a_i = 0$, nên cả hai vế bất đẳng thức cần chứng minh $B^2 \le AC$ đều bằng $0$, bất đẳng thức đúng tầm thường (đẳng thức xảy ra).

**Bước 4: Dùng biệt thức khi $A > 0$.** Một tam thức bậc hai $At^2 - 2Bt + C$ với hệ số dẫn đầu dương $A$ mà $\ge 0$ với mọi $t$ thực chỉ có nhiều nhất một nghiệm thực, nên biệt thức không thể dương: $(2B)^2 - 4AC \le 0$, tức $4B^2 \le 4AC$, tức $B^2 \le AC$.

Bước 5: Kết luận. Thay lại, $\left(\sum a_i b_i\right)^2 \le \left(\sum a_i^2\right)\left(\sum b_i^2\right)$, chính là $\left(\sum a_i^2\right)\left(\sum b_i^2\right) \ge \left(\sum a_i b_i\right)^2$. Đẳng thức xảy ra chính xác khi biệt thức bằng không, tức tam thức có nghiệm kép thực $t_0$, tức $a_i t_0 = b_i$ với mọi $i$ — hai dãy $(a_i)$ và $(b_i)$ tỉ lệ nhau.