Bất đẳng thức tam giác (cho số thực)

Mọi số thực $x$ thỏa $-|x|\le x\le |x|$ theo định nghĩa giá trị tuyệt đối. Áp dụng cho cả $a$ và $b$: $-|a|\le a\le |a|$ và $-|b|\le b\le |b|$.

Cộng từng vế hai chuỗi bất đẳng thức này (được phép vì phép cộng giữ nguyên chiều): $-(|a|+|b|)\le a+b\le |a|+|b|$.

Mệnh đề $-(M)\le y\le M$ với $M\ge 0$ tương đương chính xác với $|y|\le M$ theo định nghĩa giá trị tuyệt đối; ở đây $y=a+b$ và $M=|a|+|b|$, nên $|a+b|\le |a|+|b|$, chính là $|a+b| \le |a|+|b|$.

Dấu bằng đòi hỏi cả hai chuỗi bất đẳng thức đồng thời là đẳng thức, buộc $a$ và $b$ phải cùng dấu (cùng không âm hoặc cùng không dương), vì chỉ khi đó mới không có sự triệt tiêu giữa $a$ và $b$.