Bất đẳng thức ultrametric (tam giác mạnh)

Viết $x = p^{v_p(x)} u$, $y = p^{v_p(y)} w$ với $u, w$ là các đơn vị trong $\mathbb{Z}_p$ (nghĩa là $|u|_p = |w|_p = 1$), và không mất tính tổng quát giả sử $v_p(x) \le v_p(y)$, nên $|x|_p \ge |y|_p$. Đặt thừa số lũy thừa nhỏ hơn ra ngoài: $x + y = p^{v_p(x)}(u + p^{v_p(y)-v_p(x)} w)$. Biểu thức trong ngoặc là một phần tử thực sự của $\mathbb{Z}_p$ (tổng của các phần tử thuộc $\mathbb{Z}_p$), nên giá trị tuyệt đối $p$-adic của nó $\le 1$; do đó $|x+y|_p \le p^{-v_p(x)} = |x|_p = \max(|x|_p, |y|_p)$, chứng minh bất đẳng thức. Nếu thêm nữa $v_p(x) < v_p(y)$ nghiêm ngặt (tức $|x|_p \ne |y|_p$), thì $p^{v_p(y)-v_p(x)} w \equiv 0 \pmod p$ trong khi $u$ là đơn vị, nên $u + p^{v_p(y)-v_p(x)} w \equiv u \not\equiv 0 \pmod p$ vẫn là đơn vị; do đó $|x+y|_p = p^{-v_p(x)}$ chính xác, cho ra đẳng thức.