Số học và Lý thuyết số

Số p-adic và số học p-adic

Một số nguyên tố $p$ trao cho $\mathbb{Q}$ một khái niệm khoảng cách thứ hai, phi Archimedes: hai số trở nên gần nhau khi hiệu của chúng chia hết cho một lũy thừa cao của $p$. Lấy đầy đủ hóa $\mathbb{Q}$ theo mêtric này cho ra trường $\mathbb{Q}_p$, nơi bổ đề Hensel, định lý Ostrowski và hình học số học hiện đại cùng sống.

Trực giácĐịnh nghĩa lại độ "gần" bằng tính chia hết

Theo cách thông thường, hai số gần nhau khi hiệu của chúng nhỏ. Nhưng hãy cố định một số nguyên tố $p$, và quy ước hai số nguyên là gần nhau khi hiệu của chúng chia hết cho **một lũy thừa cao của $p$. Đây không phải là một phép ẩn dụ: đó là một khái niệm khoảng cách thực sự, chặt chẽ, chỉ được xây dựng từ một quy tắc hoàn toàn khác. Công cụ then chốt là định giá $p$-adic** $v_p(n)$, số mũ của lũy thừa cao nhất của $p$ chia hết số nguyên $n$ (với $v_p(0) = \infty$). $v_p(n)$ lớn nghĩa là $n$ 'nhỏ' theo nghĩa $p$-adic — ngược hẳn với vẻ ngoài của $n$ trên trục số.

Hãy kiểm tra cụ thể với $p = 5$: xét các số nguyên $2$, $7$, $12$ và $127$. Ta có $7 - 2 = 5$, nên $v_5(7-2) = 1$; và $12 - 2 = 10 = 2 \cdot 5$, cũng có $v_5(12-2) = 1$. Nhưng $127 - 2 = 125 = 5^3$, nên $v_5(127-2) = 3$. Theo nghĩa $5$-adic, $127$ **gần với $2$ hơn hẳn** so với $7$ hay $12$, dù $127$ trông rất lớn trên trục số thông thường còn $7$, $12$ trông gần kề. Chính tính chia hết cho $5^3$, chứ không phải độ lớn thông thường, quyết định độ gần.

Đại họcXây dựng $\mathbb{Z}_p$ như giới hạn của các vành hữu hạn

Định giá $v_p$ biến thành một giá trị tuyệt đối thực sự trên $\mathbb{Q}$ bằng cách đặt $|x|_p = p^{-v_p(x)}$ với $x \ne 0$ và $|0|_p = 0$: viết $x = p^{v_p(x)} \frac{a}{b}$ với $p \nmid a$, $p \nmid b$ tách bạch chính xác mức độ chia hết của $x$ cho $p$. Nó có tính nhân giống hệt giá trị tuyệt đối thông thường, $|xy|_p = |x|_p |y|_p$, vì vậy $d_p(x, y) = |x-y|_p$ là một mêtric thực sự trên $\mathbb{Q}$ — một đối thủ của mêtric Euclid quen thuộc.

Có hai cách xây dựng tương đương cho phép đầy đủ hóa $\mathbb{Q}_p$ của $\mathbb{Q}$ theo $|\cdot|_p$: (1) đầy đủ hóa hình thức $\mathbb{Q}$ theo $d_p$, hệt như cách dãy Cauchy dựng nên $\mathbb{R}$ từ $\mathbb{Q}$ theo mêtric thông thường; hoặc (2) trước tiên dựng **các số nguyên $p$-adic** như một giới hạn ngược của các vành hữu hạn, $\mathbb{Z}_p = \varprojlim_n \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ — một dãy các số dư tương thích theo modulo $p, p^2, p^3, \dots$ — rồi lập $\mathbb{Q}_p$ như trường các phân thức của nó. Cả hai con đường đều cho cùng một trường.

Về mặt tô pô, $\mathbb{Z}_p$ (mọi dãy chữ số $a_0, a_1, a_2, \dots$) là compact: nó đồng phôi với một tích $\prod_{i \ge 0} \{0, \dots, p-1\}$ của các tập rời rạc hữu hạn, nên định lý Tychonoff áp dụng trực tiếp. Khi đó $\mathbb{Q}_p = \bigcup_{k} p^{-k} \mathbb{Z}_p$ là compact địa phương (mọi điểm đều có một lân cận compact, cụ thể là một bản dịch chuyển của $\mathbb{Z}_p$), hệt như $\mathbb{R}$ compact địa phương nhưng không compact. Chính tính compact địa phương này cho phép $\mathbb{Q}_p$ mang một độ đo Haar và hỗ trợ giải tích, tích phân $p$-adic thực thụ.

Nâng caoĐịnh lý Ostrowski: số $p$-adic quan trọng ngang hàng với số thực

Tại sao lại chọn riêng $\mathbb{R}$ làm cái đầy đủ hóa của $\mathbb{Q}$, trong khi mỗi số nguyên tố $p$ lại sinh ra $\mathbb{Q}_p$ của riêng nó? Câu trả lời trung thực là không có lý do gì cả: $\mathbb{R}$ không có vị thế đặc biệt nào trong số các giá trị tuyệt đối trên $\mathbb{Q}$ ngoài việc là 'điểm vô hạn'. Điều này được làm rõ chính xác bởi định lý Ostrowski, và đó là định lý xác nhận rằng số học $p$-adic không phải một điều kỳ lạ gắn thêm vào lý thuyết số, mà quan trọng ngang hàng với chính các số thực.

Triết lý địa phương-toàn cục đó mang lại kết quả ngoạn mục cho các dạng toàn phương. Định lý Hasse–Minkowski (Hasse, đầu những năm 1920, dựa trên nền tảng của Minkowski) nói rằng một dạng toàn phương $f$ nhiều biến trên $\mathbb{Q}$ biểu diễn $0$ không tầm thường trên $\mathbb{Q}$ khi và chỉ khi nó biểu diễn $0$ không tầm thường trên mọi đầy đủ hóa: trên $\mathbb{R}$ và trên $\mathbb{Q}_p$ với mọi số nguyên tố $p$. Kiểm tra tính giải được trên $\mathbb{R}$ chỉ là một điều kiện về dấu, còn kiểm tra tính giải được trên $\mathbb{Q}_p$ quy về một phép tính hữu hạn nhờ bổ đề Hensel — nên một phép tìm kiếm vô hạn tiên nghiệm trên $\mathbb{Q}^n$ sụp xuống thành hữu hạn các kiểm tra địa phương dễ dàng. Đây là nguyên mẫu của một nguyên lý địa phương-toàn cục (Hasse); đó là một phép màu thực sự chỉ dành riêng cho dạng toàn phương; các dạng bậc $3$ có thể không tuân theo nó (đường cong Selmer $3x^3+4y^3+5z^3=0$ có nghiệm ở khắp mọi nơi địa phương nhưng không có nghiệm hữu tỷ).

$\mathbb{Q}_p$ là nguyên mẫu của một trường địa phương, và mọi trường số $K$ đều có họ đầy đủ hóa riêng tại các số nguyên tố của nó, tổng quát hóa $\mathbb{Q}_p$ — những đối tượng cơ bản trong cỗ máy địa phương-toàn cục của lý thuyết số đại số (lý thuyết trường lớp, phân nhánh, biểu diễn Galois). Cố định $p$ và cho trường biến thiên trong một tháp $\mathbb{Q}_p \subset K_\infty$ chính là bối cảnh của lý thuyết Iwasawa, với các hàm $L$ $p$-adic nội suy $p$-adic các giá trị $L$ cổ điển và mã hóa các bất biến số học sâu sắc (số lớp, nhóm Selmer) — một trong những động cơ chính của hình học số học hiện đại, nuôi dưỡng trực tiếp các công cụ dùng để tấn công giả thuyết Birch–Swinnerton-Dyer và xa hơn nữa.

Nghiên cứuKhông gian perfectoid và biên giới nghiên cứu đang sống

Trong phần lớn thế kỷ XX, số $p$-adic vẫn nằm trong lý thuyết số đại số. Điều đó thay đổi vào những năm 2010 khi Peter Scholze đưa ra không gian perfectoid: những đối tượng hình học $p$-adic phân nhánh rất mạnh (được xây dựng từ các tháp như $\mathbb{Q}_p(p^{1/p^\infty})$) mà hình học của chúng, một cách đáng chú ý, trở nên tương đương với hình học của một số không gian trong đặc số dương thông qua một tương ứng 'nghiêng' (tilting). Điều này cho phép các định lý sâu sắc về hình học đặc số $p$ (nơi ánh xạ Frobenius làm mọi việc dễ dàng hơn) được chuyển ngược lại để chứng minh các kết quả mới trong đặc số hỗn hợp và đặc số $p$-adic, và ngược lại.