Định lý quy tắc cộng (bao hàm loại trừ cho hai biến cố)

Bước 1 (chia hợp thành các phần rời nhau): tách $A \cup B$ thành ba phần rời nhau đôi một: $A \setminus B$ (kết cục chỉ thuộc $A$), $A \cap B$ (kết cục thuộc cả hai), và $A \cap B$$B \setminus A$ (kết cục chỉ thuộc $B$). Mỗi kết cục của $A \cup B$ rơi vào đúng một trong ba phần này.

Bước 2 (đếm hợp bằng quy tắc cộng cho các tập rời nhau): vì ba phần rời nhau đôi một, số kết cục thỏa $|A \cup B| = |A \setminus B| + |A \cap B| + |B \setminus A|$.

Bước 3 (biểu diễn $|A|$ và $|B|$ qua cùng ba phần đó): tương tự, $|A| = |A \setminus B| + |A \cap B|$ (tách $A$ theo việc có giao với $B$ hay không) và $|B| = |B \setminus A| + |A \cap B|$ (tách $B$ tương tự). Cộng hai đẳng thức này cho $|A| + |B| = |A \setminus B| + |B \setminus A| + 2|A \cap B|$.

Bước 4 (kết hợp và chia cho $|\Omega|$): so sánh Bước 2 và Bước 3, $|A| + |B| - |A \cap B| = |A \setminus B| + |B \setminus A| + |A \cap B| = |A \cup B|$. Chia cả hai vế cho $|\Omega|$ và áp dụng công thức xác suất cổ điển $P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$ cho từng số hạng cho đúng $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.