Biến cố và xác suất

Đơn giản cộng $P(A)$ và $P(B)$ sẽ đếm mỗi kết cục thuộc cả hai biến cố hai lần — một lần trong $P(A)$ và một lần trong $P(B)$ — nên phần chung $P(A \cap B)$ phải bị bỏ bớt đúng một lần để sửa lại số đếm.

Bước 1 (chia hợp thành các phần rời nhau): tách $A \cup B$ thành ba phần rời nhau đôi một: $A \setminus B$ (kết cục chỉ thuộc $A$), $A \cap B$ (kết cục thuộc cả hai), và $A \cap B$$B \setminus A$ (kết cục chỉ thuộc $B$). Mỗi kết cục của $A \cup B$ rơi vào đúng một trong ba phần này.

Bước 2 (đếm hợp bằng quy tắc cộng cho các tập rời nhau): vì ba phần rời nhau đôi một, số kết cục thỏa $|A \cup B| = |A \setminus B| + |A \cap B| + |B \setminus A|$.

Bước 3 (biểu diễn $|A|$ và $|B|$ qua cùng ba phần đó): tương tự, $|A| = |A \setminus B| + |A \cap B|$ (tách $A$ theo việc có giao với $B$ hay không) và $|B| = |B \setminus A| + |A \cap B|$ (tách $B$ tương tự). Cộng hai đẳng thức này cho $|A| + |B| = |A \setminus B| + |B \setminus A| + 2|A \cap B|$.

Bước 4 (kết hợp và chia cho $|\Omega|$): so sánh Bước 2 và Bước 3, $|A| + |B| - |A \cap B| = |A \setminus B| + |B \setminus A| + |A \cap B| = |A \cup B|$. Chia cả hai vế cho $|\Omega|$ và áp dụng công thức xác suất cổ điển $P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$ cho từng số hạng cho đúng $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.

Chọn một kết cục thỏa cả $A$ và $B$ một cách độc lập là một quá trình đếm hai bước (quy tắc nhân trong đếm), nên số cặp thuận lợi đơn giản là tích của số kết cục thuận lợi ở mỗi thành phần.

Bước 1 (thiết lập việc đếm): gọi $|A| = a$ và $|B| = b$. Một kết cục của $\Omega = \Omega_1 \times \Omega_2$ thỏa cả hai điều kiện là một cặp $(\omega_1, \omega_2)$ với $\omega_1 \in A$ và $\omega_2 \in B$.

Bước 2 (áp dụng quy tắc nhân trong đếm): chọn $\omega_1$ có thể thực hiện theo $a$ cách và, độc lập với lựa chọn đó, $\omega_2$ có thể thực hiện theo $b$ cách, nên theo quy tắc nhân trong đếm có $a \cdot b$ cặp thuận lợi.

Bước 3 (chia cho tổng số kết cục): tổng không gian mẫu có $m \cdot n$ kết cục đồng khả năng, nên $P(A \cap B) = \frac{ab}{mn}$.

Bước 4 (phân tích thành thừa số): viết lại $\frac{ab}{mn} = \frac{a}{m} \cdot \frac{b}{n} = P(A) \cdot P(B)$, vì $P(A) = a/m$ và $P(B) = b/n$ theo công thức xác suất cổ điển, điều này chứng minh khẳng định.