Phương trình Black–Scholes, qua bổ đề Itô

Áp dụng bổ đề Itô cho $V(S_t,t)$, coi $V$ là một hàm trơn của quá trình ngẫu nhiên $S_t$ và của thời gian. Bổ đề phát biểu $dV = \left(\dfrac{\partial V}{\partial t} + \mu S_t \dfrac{\partial V}{\partial S} + \dfrac{1}{2}\sigma^2 S_t^2 \dfrac{\partial^2 V}{\partial S^2}\right)dt + \sigma S_t \dfrac{\partial V}{\partial S}\,dW_t$. Khác với giải tích thông thường, một số hạng thêm $\frac{1}{2}\sigma^2 S_t^2 \partial^2 V/\partial S^2$ xuất hiện, đến từ biến phân toàn phương khác không của chuyển động Brown.

Bây giờ xây dựng một danh mục đã phòng hộ $\Pi = V - \Delta S_t$, nắm giữ một phái sinh và bán khống $\Delta$ cổ phiếu, với $\Delta$ được chọn bằng $\partial V/\partial S$. Sự thay đổi của nó là $d\Pi = dV - \Delta\,dS_t$. Thay biểu thức của $dV$ và $dS_t = \mu S_t\,dt + \sigma S_t\,dW_t$, và chọn $\Delta = \partial V/\partial S$, các số hạng ngẫu nhiên $\sigma S_t \partial V/\partial S\,dW_t$ và $-\Delta \sigma S_t\,dW_t$ triệt tiêu chính xác nhau.

Phần còn lại là $d\Pi = \left(\dfrac{\partial V}{\partial t} + \dfrac{1}{2}\sigma^2 S_t^2 \dfrac{\partial^2 V}{\partial S^2}\right)dt$, một sự thay đổi hoàn toàn tất định (phi rủi ro) trong khoảnh khắc $dt$, không còn phụ thuộc vào độ trôi $\mu$ của cổ phiếu.

Một danh mục phi rủi ro phải sinh lời đúng bằng lãi suất phi rủi ro, nếu không sẽ có cơ hội chênh lệch giá bằng cách vay hoặc cho vay dựa trên nó. Vậy $d\Pi = r\Pi\,dt = r(V - S_t\,\partial V/\partial S)\,dt$. Cho hai biểu thức của $d\Pi$ bằng nhau rồi chia cho $dt$ ta được $\dfrac{\partial V}{\partial t} + \dfrac{1}{2}\sigma^2 S^2 \dfrac{\partial^2 V}{\partial S^2} = rV - rS\dfrac{\partial V}{\partial S}$, sắp xếp lại thành phương trình Black–Scholes.