Toán tài chính

Một quyền chọn mua cộng với đủ tiền mặt để lớn lên thành $K$ vào lúc đáo hạn, và một quyền chọn bán cộng với một cổ phiếu, chỉ là hai cách khác nhau để đảm bảo cuối cùng bạn nắm giữ đúng một tài sản trị giá $\max(S_T, K)$ tại thời điểm $T$. Nếu hai công thức luôn cho ra cùng một món ăn, chúng phải có giá bằng nhau ngay hôm nay.

Xây dựng hai danh mục hôm nay, tại thời điểm $t$. Danh mục A gồm một quyền chọn mua cộng với một khoản tiền mặt $Ke^{-r(T-t)}$ đầu tư với lãi suất phi rủi ro, để nó lớn lên thành đúng $K$ vào thời điểm $T$. Danh mục B gồm một quyền chọn bán cộng với một cổ phiếu.

So sánh giá trị của chúng tại thời điểm đáo hạn $T$ trong hai trường hợp có thể xảy ra. Nếu $S_T \ge K$: quyền chọn mua được thực hiện và có giá trị $S_T - K$, còn tiền mặt đã lớn lên thành $K$, nên Danh mục A có giá trị $(S_T - K) + K = S_T$. Quyền chọn bán hết hạn vô giá trị, còn cổ phiếu có giá trị $S_T$, nên Danh mục B có giá trị $0 + S_T = S_T$. Hai danh mục bằng nhau.

Nếu $S_T < K$: quyền chọn mua hết hạn vô giá trị, còn tiền mặt vẫn có giá trị $K$, nên Danh mục A có giá trị $0 + K = K$. Quyền chọn bán được thực hiện và có giá trị $K - S_T$, còn cổ phiếu có giá trị $S_T$, nên Danh mục B có giá trị $(K - S_T) + S_T = K$. Hai danh mục lại bằng nhau, lần này cùng bằng $K$.

Vậy trong mọi kết quả có thể, Danh mục A và Danh mục B có giá trị đúng bằng nhau tại $T$. Nếu giá trị của chúng tại $t$ khác nhau, một nhà đầu cơ chênh lệch giá có thể bán danh mục đắt hơn, mua danh mục rẻ hơn, đầu tư phần chênh lệch với lãi suất phi rủi ro, và tại $T$ thu về lợi nhuận phi rủi ro bất kể cổ phiếu diễn biến ra sao. Vì thị trường thực sự không cho phép lợi nhuận phi rủi ro như vậy tồn tại, hai danh mục phải có giá bằng nhau tại $t$: $C + Ke^{-r(T-t)} = P + S$, sắp xếp lại thành $C - P = S - Ke^{-r(T-t)}$.

Giải tích thông thường cho rằng sự thay đổi của $V(S_t,t)$ chỉ đến từ $\partial V/\partial t$ và $\partial V/\partial S$. Nhưng $S_t$ dao động ngẫu nhiên, và bổ đề Itô cho thấy tính ngẫu nhiên đó phản hồi vào $V$ qua một số hạng thêm được xây từ đạo hàm bậc hai $\partial^2 V/\partial S^2$ — một số hạng hiệu chỉnh không có tương tự trong giải tích thông thường. Khi đã tính đến số hạng thêm đó, một danh mục nắm giữ phái sinh cùng đúng một lượng cổ phiếu có thể được làm cho hoàn toàn phi rủi ro, và một danh mục phi rủi ro chỉ có thể sinh lời đúng bằng lãi suất phi rủi ro $r$.

Áp dụng bổ đề Itô cho $V(S_t,t)$, coi $V$ là một hàm trơn của quá trình ngẫu nhiên $S_t$ và của thời gian. Bổ đề phát biểu $dV = \left(\dfrac{\partial V}{\partial t} + \mu S_t \dfrac{\partial V}{\partial S} + \dfrac{1}{2}\sigma^2 S_t^2 \dfrac{\partial^2 V}{\partial S^2}\right)dt + \sigma S_t \dfrac{\partial V}{\partial S}\,dW_t$. Khác với giải tích thông thường, một số hạng thêm $\frac{1}{2}\sigma^2 S_t^2 \partial^2 V/\partial S^2$ xuất hiện, đến từ biến phân toàn phương khác không của chuyển động Brown.

Bây giờ xây dựng một danh mục đã phòng hộ $\Pi = V - \Delta S_t$, nắm giữ một phái sinh và bán khống $\Delta$ cổ phiếu, với $\Delta$ được chọn bằng $\partial V/\partial S$. Sự thay đổi của nó là $d\Pi = dV - \Delta\,dS_t$. Thay biểu thức của $dV$ và $dS_t = \mu S_t\,dt + \sigma S_t\,dW_t$, và chọn $\Delta = \partial V/\partial S$, các số hạng ngẫu nhiên $\sigma S_t \partial V/\partial S\,dW_t$ và $-\Delta \sigma S_t\,dW_t$ triệt tiêu chính xác nhau.

Phần còn lại là $d\Pi = \left(\dfrac{\partial V}{\partial t} + \dfrac{1}{2}\sigma^2 S_t^2 \dfrac{\partial^2 V}{\partial S^2}\right)dt$, một sự thay đổi hoàn toàn tất định (phi rủi ro) trong khoảnh khắc $dt$, không còn phụ thuộc vào độ trôi $\mu$ của cổ phiếu.

Một danh mục phi rủi ro phải sinh lời đúng bằng lãi suất phi rủi ro, nếu không sẽ có cơ hội chênh lệch giá bằng cách vay hoặc cho vay dựa trên nó. Vậy $d\Pi = r\Pi\,dt = r(V - S_t\,\partial V/\partial S)\,dt$. Cho hai biểu thức của $d\Pi$ bằng nhau rồi chia cho $dt$ ta được $\dfrac{\partial V}{\partial t} + \dfrac{1}{2}\sigma^2 S^2 \dfrac{\partial^2 V}{\partial S^2} = rV - rS\dfrac{\partial V}{\partial S}$, sắp xếp lại thành phương trình Black–Scholes.