Bổ đề Hensel

Xây dựng $\alpha$ như giới hạn của các xấp xỉ liên tiếp $a = a_0, a_1, a_2, \dots \in \mathbb{Z}_p$ với $a_{n+1} = a_n - f(a_n)/f'(a_n)$, chứng minh bằng quy nạp rằng $v_p(f(a_n)) \ge n+1$ và $v_p(f'(a_n)) = v_p(f'(a)) = 0$ với mọi $n$ (đạo hàm luôn giữ là đơn vị vì $a_{n+1} \equiv a_n \pmod p$ ở mỗi bước, nên $f'(a_n) \equiv f'(a) \not\equiv 0 \pmod p$ xuyên suốt). Khi đó $v_p(a_{n+1}-a_n) = v_p(f(a_n)) - v_p(f'(a_n)) \ge n+1$, nên $(a_n)$ là dãy Cauchy theo mêtric $p$-adic; theo tính đầy đủ của $\mathbb{Z}_p$ nó hội tụ về một $\alpha \equiv a \pmod p$ nào đó, và tính liên tục của $f$ buộc $f(\alpha) = \lim f(a_n) = 0$. Tính duy nhất: nếu $\beta \ne \alpha$ là một nghiệm khác với $\beta \equiv a \pmod p$, khai triển giá trị trung bình / Taylor $f(\beta) - f(\alpha) = (\beta-\alpha)(f'(\alpha) + p(\cdots))$ với $f'(\alpha)$ là đơn vị sẽ buộc $\beta = \alpha$.