Bổ đề Yoneda

Trước tiên ta kiểm $\Phi(\Psi(x))=x$ với mọi $x\in F(A)$. Mở định nghĩa: $\Psi(x)_A(1_A)=F(1_A)(x)$ theo công thức của $\Psi$, đặc biệt hoá với $X=A$, $f=1_A$. Vì $F$ là hàm tử, nó gửi cấu xạ đơn vị $1_A$ tới hàm đơn vị trên $F(A)$, nên $F(1_A)(x)=x$. Vậy $\Phi(\Psi(x))=\Psi(x)_A(1_A)=x$, đúng như cần — hướng này chỉ dùng luật đơn vị của hàm tử.

Giờ ta kiểm hướng khó hơn, $\Psi(\Phi(\eta))=\eta$ với mọi biến đổi tự nhiên $\eta:h_A\Rightarrow F$. Cả hai vế là biến đổi tự nhiên $h_A\Rightarrow F$, nên chỉ cần chỉ ra các thành phần khớp tại mọi đối tượng $X$ và mọi phần tử $f\in h_A(X)=\mathrm{Hom}(X,A)$.

Mở $\Psi(\Phi(\eta))_X(f)$ bằng công thức của $\Psi$ với $x:=\Phi(\eta)=\eta_A(1_A)$: bằng $F(f)(\eta_A(1_A))$.

Giờ dùng tính tự nhiên của $\eta$, ở dạng $\eta_Y(f\circ g)=F(g)(\eta_X(f))$ với $g:=f:X\to A$ và biến kia đặt là $A$: lấy $f:=1_A\in h_A(A)$ trong hình vuông tự nhiên đó cho đúng $\eta_X(1_A\circ f)=F(f)(\eta_A(1_A))$, tức $\eta_X(f)=F(f)(\eta_A(1_A))$, vì $1_A\circ f=f$.

Kết hợp hai dòng cuối: $\Psi(\Phi(\eta))_X(f)=F(f)(\eta_A(1_A))=\eta_X(f)$. Vì $X$ và $f$ tuỳ ý, hai biến đổi tự nhiên khớp mọi nơi, nên $\Psi(\Phi(\eta))=\eta$. Cùng đoạn đầu, $\Phi$ và $\Psi$ là song ánh nghịch đảo lẫn nhau.